Stała Lipschitza

[Nesquik]

Mam oto takie zadanka,i nie bardzo wiem z której strony je ruszyć,proszę o pomoc.
1.Znaleźć obszar w którym funkcja spełnia warunek Lipschitza i wyznaczyc jej stała lipschitzowską:
\(\displaystyle{ f(t,x)= \frac{t}{1+x^2}}\)

2.Wyznaczyc stałą Lipschitza dla zadanej funkcji i obszaru
\(\displaystyle{ f(t,x)=t^2e ^{-tx}}\) \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\),\(\displaystyle{ \left| x\right|< \infty}\)

3.Zbadać istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu
\(\displaystyle{ x'=(1+x)tx^2}\),\(\displaystyle{ x(0)=1}\)

4.Pokazać że rozwiązanie problemu
\(\displaystyle{ x'= \frac{-t}{x}}\) ,\(\displaystyle{ x(0)=1}\)
nie moze byc przedluzone do poza przedział \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\)

[brzoskwinka1]

1)
\(\displaystyle{ \left|\frac{ \partial f }{ \partial x } (t, x) \right| =\left|-\frac{2tx }{(1+x^2)^2 } \right| \le |t|}\)
\(\displaystyle{ \left|\frac{ \partial f }{ \partial t } (t, x) \right| =\left|\frac{1 }{1+x^2} \right| \le 1.}\)

Więc dla dowolnego \(\displaystyle{ \sigma >0}\) w obszarze \(\displaystyle{ A_{\sigma } =\{ (t,x): |t|<\sigma \}}\) mamy
\(\displaystyle{ |f(\xi , \eta ) -f (\lambda , \mu ) | \le \alpha (|\xi -\lambda | +|\eta -\mu | )}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha =\max\{ \sigma ,1\} .}\)

[matfka]

Czy autor, lub ktoś inny już wie jak rozwiązać te zadania? Jeżeli tak to bardzo proszę o wytłumaczenie ponieważ nie wiem jak się za takie coś zabrać

[natasza123]

dołączam sie do prosby.

[matix]

Równiez się dołączam

[kluszard]

również dołączam sę do prośby

[edyta_94]

Ponawiam prośbę