Kres górny i dolny.

[gelusia]

Witam, proszę o pomoc w wytłumaczeniu dwóch zadań z wykładu, których nie moge do końca zrozumieć.

1) \(\displaystyle{ A ={x: x= \frac{1}{n + 1} , n\in N}}\) obliczyć kres górny.

Rozwiązanie wygląda tak:
Liczba 1 jest ograniczeniem górnym zbioru A. Sprawdzem warunki:
\(\displaystyle{ a\le M}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n - 1}\le 1}\), tu się zastanawiamy czy tak jest, próbujemy pokazać. Wychodzi, że \(\displaystyle{ n \ge 0}\).
Drugi warunek:
\(\displaystyle{ M - \varepsilon < \frac{1}{n + 1}, n < \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}}\) i tutaj mam notatke, że wynika z tego, że \(\displaystyle{ M =1}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym. Ale dlaczego?? Skąd taki wniosek, przecież \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i z tej nierówności wyjdzie że \(\displaystyle{ n< - \text{coś}.}\)

2) \(\displaystyle{ A = \{ x \in \QQ, x^2<2 \}}\), kres górny wyznaczyć.
Podejrzewamy, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest tym kresem, pozostaje udowodnić.
Rozwiązanie z mojego wykładu wygląda tak:
Z postaci zbioru wynika, że jeśli kres górny istnieje i \(\displaystyle{ \sup A=M}\) to \(\displaystyle{ M>1.}\) I tu pierwsze moje pytanie, dlaczego \(\displaystyle{ M>1?}\)
Z df. kresu górnego dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) to:\(\displaystyle{ \left( M-\frac{1}{n} \right) ^{2}\le 2\le \left( M +\frac{1}{n} \right) ^{2}}\). I tu moje pytanie o co chodzi w tym zapisie? Dlaczego od \(\displaystyle{ M- \frac{1}{n}}\)?
Z tego, że \(\displaystyle{ M}\) jest kresem górnym wynika istnienie \(\displaystyle{ x,}\) że \(\displaystyle{ M-\frac{1}{n}<x<M}\)a także \(\displaystyle{ \left( M-\frac{1}{n} \right) ^{2}<x^{2}<2}\). Przypuszczamy, że \(\displaystyle{ \left( M +\frac{1}{n} \right) ^{2}<2}\). I po wytłumaczeniu tego wychodzi, że to sprzeczność.
Teraz zakładamy, że M nie jest l. wynierną to mamy takie q wymierne, że \(\displaystyle{ q= frac{ left[ left( M+1
ight) M}{M+1} +frac{1}{n+1}}\), gdzie [..] oznacza cześć całkowitą z l. R ( o co chodzi z tym q??) spełnia nierówność: \(\displaystyle{ M<q<M +\frac{1}{n}}\), skąd wiemy, że \(\displaystyle{ q^{2}< \left( M+\frac{1}{n} \right) ^{2}<2}\). Jest to sprzeczność z df. zbioru A. Musi być zatem:\(\displaystyle{ \left( M+\frac{1}{n} \right) ^{2}>2}\). Rozważmy nierówność:\(\displaystyle{ \left( M-\frac{1}{n} \right) ^{2} \le 2 \le \left( M+\frac{1}{n} \right) ^{2}}\).Z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ M^{2}-2=0}\). I po tem wychodzi już wynik.

Proszę o pomoc!

[JankoS]

...przecież \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i z tej nierówności wyjdzie że n< - coś.

Nierówność \(\displaystyle{ 1 - \varepsilon < \frac{1}{n + 1}}\) rozwiązujemy względem \(\displaystyle{ \varepsilon}\).

Z postaci zbioru wynika, że jeśli kres górny istnieje i supA=M to M>1. I tu pierwsze moje pytanie, dlaczego M>1?

Poniewaź \(\displaystyle{ 1^2=1}\) i funkcja potęgowa ma być rosnąca.

[gelusia]

a czy ktos mógłby mi krok po kroku wyjaśnić ten przykład 2??
bo już wiem o co chodzi z tym założeniem, że M>1. Ale pozostaje kwestia nierówności w środku zadania a także tego q.

Były to pierwsze ćwiczenia wprowadzające nas w temat rachunku i bardzo zależy mi aby to dobrze zrozumieć.