logarytm naturalny z sinusa

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
shakurx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 23 cze 2012, o 17:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

logarytm naturalny z sinusa

Post autor: shakurx »

Jaka jest pochodna:

\(\displaystyle{ f(x)=(\ln \sin x)}\)
Dzięki z góry
Ostatnio zmieniony 27 cze 2012, o 16:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
silicium2002
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 786
Rejestracja: 9 lip 2009, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 114 razy

logarytm naturalny z sinusa

Post autor: silicium2002 »

Zrób to ze wzoru na pochodną funkcji złożonej. znajdziesz w każdych tablicach.
Pochodna z \(\displaystyle{ \ln x}\) i \(\displaystyle{ \sin x}\) też jest w tablicach.
Ostatnio zmieniony 27 cze 2012, o 16:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
agulka1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3090
Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 879 razy

logarytm naturalny z sinusa

Post autor: agulka1987 »

\(\displaystyle{ f'(x)=(\ln \sin x)' \cdot (\sin x)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \ctg x}\)
Ostatnio zmieniony 27 cze 2012, o 16:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
shakurx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 23 cze 2012, o 17:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

logarytm naturalny z sinusa

Post autor: shakurx »

Danke schön.
Awatar użytkownika
silicium2002
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 786
Rejestracja: 9 lip 2009, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 114 razy

logarytm naturalny z sinusa

Post autor: silicium2002 »

agulka1987 pisze:\(\displaystyle{ f'(x)=(\ln \sin x)' \cdot (\sin x)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \ctg x}\)
wynik poprawny, ale to nie jest prawda.

Piszesz: \(\displaystyle{ f'(x)=(\ln \sin x)' \cdot (\sin x)'x}\)

ale przecież: \(\displaystyle{ f(x)=\ln \sin x \Rightarrow f'(x)=(\ln \sin x)'}\)

Poprawnie należy to zrobić tak\(\displaystyle{ f(x) = h(g(x))=\ln \sin x}\), gdzie \(\displaystyle{ h(x)=\ln x}\) i \(\displaystyle{ g(x)=\sin x}\)

Wtedy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:

\(\displaystyle{ g'(h(x))=g'(x) \cdot h'(x)}\)

Stąd: \(\displaystyle{ f'(x)=g'(h(x)=g'(x) \cdot h'(x)=\ln '(\sin x) \cdot (\sin x)'= \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \ctg x}\)
Ostatnio zmieniony 27 cze 2012, o 16:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
shakurx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 23 cze 2012, o 17:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

logarytm naturalny z sinusa

Post autor: shakurx »

a więc analogicznie:

\(\displaystyle{ f(x)=(\ln \sin 5x)}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=5 \cos 5x \cdot \frac{1}{\sin 5x}}\) czy tak poprawnie jest?
Ostatnio zmieniony 27 cze 2012, o 16:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

logarytm naturalny z sinusa

Post autor: norwimaj »

silicium2002 pisze:
agulka1987 pisze:\(\displaystyle{ f'(x)=(\ln \sin x)' \cdot (\sin x)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \ctg x}\)
wynik poprawny, ale to nie jest prawda.
Nie tyle nieprawda, co nonszalancki zapis. Formalnie symbol pochodnej powinien się odnosić do jakiejś funkcji a nie do liczby. W tym wypadku akurat można to dobrze zapisać:
\(\displaystyle{ f'(x)=\ln'( \sin x) \cdot \sin' x.}\)

-- 27 cze 2012, o 17:11 --
shakurx pisze: \(\displaystyle{ f(x)=(\ln \sin 5x)}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=5 \cos 5x \cdot \frac{1}{\sin 5x}}\) czy tak poprawnie jest?
Tak, to jest poprawne.
ODPOWIEDZ