Strona 1 z 1

odległość punktu od płaszczyzny

: 5 cze 2012, o 19:43
autor: Kosynier
Celem zdania jest znaleźć odległość punktu \(\displaystyle{ P=(0,0,4)}\) od powierzchni \(\displaystyle{ z=xy}\).

Co do funkcji wielu zmiennych to umiem takie rzeczy jak pochodne cząstkowe, ekstrema i funkcje uwikłane (to ostatnio przerabialiśmy) ale nie mogę tego połączyć z tym zadaniem, nie mam pojęcia nawet od czego zacząć. Czy ktoś mógłby mnie poprowadzić krok po kroku, co i jak?

PS. Czy jest jakiś program lub strona internetowa która narysowałaby mi tą płaszczyznę (i oczywiście inne wykresy trzech zmiennych też)? Zawsze łatwiej coś zrozumieć gdy się to ma przed oczami.

odległość punktu od płaszczyzny

: 5 cze 2012, o 20:20
autor: Lorek
Pytanie raczej do działu "rachunek różniczkowy".
1. Wyznaczasz postać dowolnego punktu leżącego na tej płaszczyźnie (nazwijmy ją \(\displaystyle{ S}\)).
2. wyznaczasz odległości \(\displaystyle{ d(A,P)}\) gdzie \(\displaystyle{ A=(0,0,4),\ P}\)- punkt z 1. Wyjdzie Ci pewna funkcja.
3. Liczysz \(\displaystyle{ \inf_{P\in S}d(A,P)}\). To właśnie będzie odległość punktu od powierzchni.
Czy jest jakiś program lub strona internetowa która narysowałaby mi tą płaszczyznę (i oczywiście inne wykresy trzech zmiennych też)? Zawsze łatwiej coś zrozumieć gdy się to ma przed oczami.
http://www.wolframalpha.com na przykład.

odległość punktu od płaszczyzny

: 5 cze 2012, o 22:06
autor: Kosynier
Lorek pisze:Pytanie raczej do działu "rachunek różniczkowy".
1. Wyznaczasz postać dowolnego punktu leżącego na tej płaszczyźnie (nazwijmy ją \(\displaystyle{ S}\)).
2. wyznaczasz odległości \(\displaystyle{ d(A,P)}\) gdzie \(\displaystyle{ A=(0,0,4),\ P}\)- punkt z 1. Wyjdzie Ci pewna funkcja.
3. Liczysz \(\displaystyle{ \inf_{P\in S}d(A,P)}\). To właśnie będzie odległość punktu od powierzchni.
Aha, to ciekawe bo działań różniczkowych jeszcze nie mieliśmy. Pokombinuję z tym, ale wcześniej mam jeszcze jedno pytanie. Dlaczego A ma te same współrzędne co P?

odległość punktu od płaszczyzny

: 5 cze 2012, o 22:13
autor: Lorek
Aha, to ciekawe bo działań różniczkowych jeszcze nie mieliśmy.
Działań różniczkowych?
to umiem takie rzeczy jak pochodne cząstkowe, ekstrema i funkcje uwikłane (to ostatnio przerabialiśmy)
To właśnie też podchodzi pod rachunek różniczkowy
Dlaczego A ma te same współrzędne co P?
Moja wina, nie zauważyłem, że masz nazwany ten punkt. Zamień w tym co napisałem \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ P}\) miejscami i będzie ok.

odległość punktu od płaszczyzny

: 5 cze 2012, o 22:41
autor: Kosynier
Lorek pisze:
to umiem takie rzeczy jak pochodne cząstkowe, ekstrema i funkcje uwikłane (to ostatnio przerabialiśmy)
To właśnie też podchodzi pod rachunek różniczkowy
Dlaczego A ma te same współrzędne co P?
Moja wina, nie zauważyłem, że masz nazwany ten punkt. Zamień w tym co napisałem \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ P}\) miejscami i będzie ok.
No, przeczytałem o tym trochę w necie i widzę że to dość obszerny temat. Więc może sprecyzuję:
Mieliśmy granice, pochodne (obliczanie pochodnych funkcji i badanie ich zmienności), całki(obliczanie całek nieoznaczonych i oznaczonych oraz niewłaściwych, wyliczanie z nich pola powierzchni) i funkcje wielu zmiennych(to co pisałem powyżej). O "różniczce" dowiedzieliśmy się tyle że jest na końcu materiału i najpewniej nie zdążymy jej przerobić.

Dla przykładu nie mam pojęcia co masz na myśli przez \(\displaystyle{ \inf_{P\in S}d(A,P)}\)
Znam \(\displaystyle{ \lim}\) który oznaczał granicę ale \(\displaystyle{ \inf}\) to dla mnie nowość (domyślam się że chodzi o coś z nieskończonością).

PS. Wielkie dzięki za link. Ta strona jest świetna.

odległość punktu od płaszczyzny

: 5 cze 2012, o 22:51
autor: Lorek
Mieliśmy granice, pochodne (obliczanie pochodnych funkcji i badanie ich zmienności)
no i to są elementy rachunku różniczkowego. Rachunek różniczkowy to nie tylko różniczki
\(\displaystyle{ \inf}\) - http://pl.wikipedia.org/wiki/Infimum, takie "uogólnienie" minumum. W tym zadaniu to infimum możesz zamienić na minimum, ale nie zawsze tak się da.

odległość punktu od płaszczyzny

: 5 cze 2012, o 23:15
autor: Kosynier
Lorek pisze:
Mieliśmy granice, pochodne (obliczanie pochodnych funkcji i badanie ich zmienności)
no i to są elementy rachunku różniczkowego. Rachunek różniczkowy to nie tylko różniczki
\(\displaystyle{ \inf}\) - http://pl.wikipedia.org/wiki/Infimum, takie "uogólnienie" minumum. W tym zadaniu to infimum możesz zamienić na minimum, ale nie zawsze tak się da.
No, to powoli zaczyna wyglądać na możliwe do zrobienia

I jeszcze co rozumiesz przez wyznaczenie postaci dowolnego punktu na płaszczyźnie (mamy przecież jej równanie \(\displaystyle{ z=xy}\))? Mam wyznaczyć sobie jakiś konkretny punkt (nie rozumiem co masz na myśli przez "postać")?

odległość punktu od płaszczyzny

: 5 cze 2012, o 23:21
autor: Lorek
Ogólnie dowolny punkt w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,y,z)}\), a my nie mamy dowolnych, tylko takie, dla których \(\displaystyle{ z=xy}\), stąd dowolny punkt, dla którego zachodzi \(\displaystyle{ z=xy}\) jest postaci...

odległość punktu od płaszczyzny

: 6 cze 2012, o 00:03
autor: Kosynier
Więc rozumiem że przez postać masz na myśli współrzędne. W ten sposób mogę sobie wybrać dowolny punkt którego współrzędne spełniają zależność \(\displaystyle{ z=xy}\) np. B=(3,2,6). Czy tak?

odległość punktu od płaszczyzny

: 6 cze 2012, o 00:07
autor: Lorek
Też, ale będziesz sprawdzał wszystkie po kolei? A co powiesz o tym: \(\displaystyle{ (x,y,xy)}\) ?

odległość punktu od płaszczyzny

: 6 cze 2012, o 00:25
autor: Kosynier
Lorek pisze:Też, ale będziesz sprawdzał wszystkie po kolei? A co powiesz o tym: \(\displaystyle{ (x,y,xy)}\) ?
Że nie bardzo wiem do czego zmierzasz. Rozumiem że wyeliminowałeś jedną zmienną i w układzie równań to by miało sens, ale jaki to ma tutaj cel?

odległość punktu od płaszczyzny

: 6 cze 2012, o 12:23
autor: Lorek
Otóż każdy punkt na powierzchni określonej równaniem \(\displaystyle{ z=xy}\) jest postaci \(\displaystyle{ (x,y,z=xy)=(x,y,xy)}\). Teraz jak policzysz odległość tego punktu od punktu \(\displaystyle{ (0,0,4)}\) to otrzymasz funkcję, której minimum poszukujesz.

odległość punktu od płaszczyzny

: 6 cze 2012, o 13:07
autor: brzoskwinka1
Badamy minimum funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} ,f(x,y) =\sqrt{x^2 +y^2 +(4-xy)^2} .}\)

odległość punktu od płaszczyzny

: 11 cze 2012, o 23:29
autor: Kosynier
Witam po długim weekendzie
wziąłem się za badanie minimum funkcji którą wskazała brzoskwinka1. Obliczyłem pochodne i jestem na etapie nieco monstrualnego układu równań, oto on:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2x-8y+xy^{2}}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}+(4-xy)^{2}} }=0 \\ \frac{2y-8x+x^{2}y}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}+(4-xy)^{2}}}=0 \end{cases}}\)

Moje pytanie to:
Czy mogę pomnożyć oba równania przez ich mianownik (jako że oba mają taki sam)? Znacznie upraszcza to układ ale nie wiem czy takie coś jest dozwolone.

odległość punktu od płaszczyzny

: 11 cze 2012, o 23:43
autor: Lorek
Możesz. Nawet jakby miały różne to byś mógł.