czy dobrze policzyłem subróżniczkę z takiej funkcji: \(\displaystyle{ f(x _{1} ,x _{2} )=|2x _{1}+x _{2}-2|}\)
wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \partial f(x _{1} ,x _{2} )= \begin{cases} (2,1) \ \ \ jesli \ \ \ 2x _{1} +x _{2} -2 > 0 \\ [(-2,-1),(2,1)] \ \ \ jesli \ \ \ 2x _{1} +x _{2} -2 = 0 \\ (-2,-1) \ \ \ jesli \ \ \ 2x _{1} +x _{2} -2 < 0 \end{cases}}\)
subróżniczka z funkcji
subróżniczka z funkcji
Przypadki 1 i 3 w porządku. Funkcja jest wypukła, a subróżniczka to (intuicyjnie) zbiór wektorów prostopadłych do podparć afinicznych. Jeśli funkcja wypukła jest w pewnym punkcie różniczkowalna, to ma dokłądnie jedno podparcie afiniczne, co skutkuje tym, że subróżniczka jest w tym punkcie singletonem złożonym z wektora prostopadłego do płaszczyzny podpierającej. Zauważamy, że wykres naszej funkcji składa się w płaszczyzn, więc płaszczyzny podpierające w tych przypadkach tożsame są z płaszczyznami wykresu funkcji.
Większej uwagi wymaga punkt środkowy. Więc na prostej zerującej funkcję tych płaszczyzn podpierających będzie więcej. Ja bym zrobił sobie rysunek. Całej płaszczyzny bez modułu, potem z modułem.
Narysowałem sobie w Wolfram Alpha (plot\(\displaystyle{ z=|2x+y-2|}\)). Dwie płaszczyzny przecinające się na prostej. Skrajne płaszczyzny podpierające to te dwie z wykresu. I te pośrednie pomiędzy nimi, które trzeba jakoś opisać. Zapewne masz rację, ale dokładnie nie sprawdzałem. W każdym razie końce Twojego odcinka w punkcie 2 wskazują właśnie na te dwie płaszczyzny "skrajne".
Większej uwagi wymaga punkt środkowy. Więc na prostej zerującej funkcję tych płaszczyzn podpierających będzie więcej. Ja bym zrobił sobie rysunek. Całej płaszczyzny bez modułu, potem z modułem.
Narysowałem sobie w Wolfram Alpha (plot\(\displaystyle{ z=|2x+y-2|}\)). Dwie płaszczyzny przecinające się na prostej. Skrajne płaszczyzny podpierające to te dwie z wykresu. I te pośrednie pomiędzy nimi, które trzeba jakoś opisać. Zapewne masz rację, ale dokładnie nie sprawdzałem. W każdym razie końce Twojego odcinka w punkcie 2 wskazują właśnie na te dwie płaszczyzny "skrajne".