subróżniczka z funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
juvex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 4 paź 2007, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ja mam wiedzieć ?
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 3 razy

subróżniczka z funkcji

Post autor: juvex »

czy dobrze policzyłem subróżniczkę z takiej funkcji: \(\displaystyle{ f(x _{1} ,x _{2} )=|2x _{1}+x _{2}-2|}\)

wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \partial f(x _{1} ,x _{2} )= \begin{cases} (2,1) \ \ \ jesli \ \ \ 2x _{1} +x _{2} -2 > 0 \\ [(-2,-1),(2,1)] \ \ \ jesli \ \ \ 2x _{1} +x _{2} -2 = 0 \\ (-2,-1) \ \ \ jesli \ \ \ 2x _{1} +x _{2} -2 < 0 \end{cases}}\)
szw1710

subróżniczka z funkcji

Post autor: szw1710 »

Przypadki 1 i 3 w porządku. Funkcja jest wypukła, a subróżniczka to (intuicyjnie) zbiór wektorów prostopadłych do podparć afinicznych. Jeśli funkcja wypukła jest w pewnym punkcie różniczkowalna, to ma dokłądnie jedno podparcie afiniczne, co skutkuje tym, że subróżniczka jest w tym punkcie singletonem złożonym z wektora prostopadłego do płaszczyzny podpierającej. Zauważamy, że wykres naszej funkcji składa się w płaszczyzn, więc płaszczyzny podpierające w tych przypadkach tożsame są z płaszczyznami wykresu funkcji.

Większej uwagi wymaga punkt środkowy. Więc na prostej zerującej funkcję tych płaszczyzn podpierających będzie więcej. Ja bym zrobił sobie rysunek. Całej płaszczyzny bez modułu, potem z modułem.

Narysowałem sobie w Wolfram Alpha (plot\(\displaystyle{ z=|2x+y-2|}\)). Dwie płaszczyzny przecinające się na prostej. Skrajne płaszczyzny podpierające to te dwie z wykresu. I te pośrednie pomiędzy nimi, które trzeba jakoś opisać. Zapewne masz rację, ale dokładnie nie sprawdzałem. W każdym razie końce Twojego odcinka w punkcie 2 wskazują właśnie na te dwie płaszczyzny "skrajne".
ODPOWIEDZ