Ekstrema i przedzialy monotonicznosci fkcja 1 zmiennej

[erko2]

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x-4}{x^2+9}}\)
Wiem, ze musze wyznaczyc f'(x):
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(-x^2-8x+9)}{x^{4}+18x^{2}+81}}\)

Dol zawsze jest wiekszy od 0, wiec zajalem sie gora ulamka. Punkty zerowe fkcji kwadratowej z gory to:
\(\displaystyle{ x_{1}=1, x_{2}=-9}\)
Wyliczam wiec pochodna pochodnej:
\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{-2x-8}{4x^{3}+36x}}\)
f''(x) w miejscach zerowych przyjmuje wartosci:

\(\displaystyle{ f''(1)= -\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ f''(-9)=-\frac{10}{1053}}\)
No i wlasnie, co teraz? Oba sa miejsze od zera, maksimum lokalne to -1/4? Wtedy monotonicznosc fkcji to:

Rosnaca dla
\(\displaystyle{ \infty <x< -\frac{1}{4}}\)
Malejaca dla
\(\displaystyle{ -\frac{1}{4} < x < \infty}\)
Czy tak?

[yorgin]

Przede wszystkim popraw drugą pochodną. Pochodna ilorazu to nie iloraz pochodnych!

[erko2]

Racja, ale ta pochodna wyjdzie jakas absurdalna.

\(\displaystyle{ f''(x)=\frac{2x^5+24^4-36x^3+288x^2-468x -648}{x^8+36x^2+6561}}\)

Ale fakt, teraz \(\displaystyle{ f''(1)<0}\), \(\displaystyle{ f''(-9)>0}\) i to mi starcza. Czyli dla \(\displaystyle{ x=1}\) funkcja ma maksimum lokalne, a dla \(\displaystyle{ x=(-9)}\) minimum.

A co z monotonicznoscia?