Pochodne wielu zmiennych

[SylwiaCzupurek]

Witajcie,
nie jestem w stanie poradzić sobie z tym zadaniem. Mam nadzieję że ktoś z Was pomoże:)

Dana jest fukcja \(\displaystyle{ f(x,y)=ln \frac{x+y}{x-y}}\), Prawdą jest że:
a)\(\displaystyle{ f'_{xx}=\frac{4xy}{(x^2-y^2)^2}}\)
b)\(\displaystyle{ f'_{xy}=\frac{4xy^2}{(x^2-y^2)^2}}\)
c)\(\displaystyle{ f'_{yy}=\frac{-4xy}{(x-y)^2 (x+y)^2}}\)
d)\(\displaystyle{ f'_{yx}=\frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)^2(x+y)^2}}\)

[Crizz]

Pokaż, jak liczysz pochodne, sprawdzimy.

[SylwiaCzupurek]

\(\displaystyle{ \frac{f(x,y)}{dx} =\frac{1}{\frac{x+y}{x-y}}=\frac{1}{x+y} \cdot \frac{x-y}{1}=\frac{x-y}{x+y}}\)

\(\displaystyle{ \frac{f(x,y)}{dx^2}=\frac{1 \cdot (x+y)-(x-y) \cdot 1}{(x+y)^2}=\frac{x+y-(x+y)}{(x+y)^2}=\frac{2y}{(x+y)^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{f(x,y)}{dxdy}=\frac{-1(x+y)-(x-y) \cdot 1}{(x+y)^2}=\frac{-x-y-(x+y)}{(x+y)^2}=\frac{-2x}{(x+y)^2}}\)

itd.

Czy mam dobry system liczenia czy też nie, niestety moje wyniki nie zgadzają się z odpowiedziami.

[Crizz]

Zakładam, że dobrze poprawiłem Twój post. Po kolei:

\(\displaystyle{ \frac{f(x,y)}{dx} =\frac{1}{\frac{x+y}{x-y}}}\)

Wiesz, co to jest pochodna funkcji złożonej? Tu nie masz \(\displaystyle{ \ln x}\), tylko logarytm naturalny z innego wyrażenia.

Dalej nie sprawdzam, bo wyniki zależą od błędnego wyniku z pierwszej obliczonej pochodnej, ale chyba pomyliłaś znaki w kilku miejscach.

Ukryta treść:    

Przy okazji, masz zły zapis. Pochodną po \(\displaystyle{ x}\) oznacza się jako \(\displaystyle{ f^\prime_x,\frac{\partial f}{\partial x}}\) lub ewentualnie \(\displaystyle{ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}}\). Druga pochodna po \(\displaystyle{ x}\) to natomiast \(\displaystyle{ f^{\prime\prime}_{xx},\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}}\) lub ewentualnie \(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}}\).

PS Naucz się używać \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-a, bo będzie źle.