ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych

[makintosh]

Cześć !! Mam takie zadanko do rozwiązania.

Wyznacz ekstremum lokalne owej funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=\ln(x^{2}+e^{y^{2}})}\)

prosiłbym o wsparcie przy rozwiązywaniu.

1. Dziedzina: \(\displaystyle{ D_{f}: \left( x^{2}+e^{y^{2}} \right) >0}\)
2. Pierwsze pochodne: \(\displaystyle{ f^{'}x_{(x,y)}= \frac{1}{x^{2}+e^{y^{2}}} \cdot (2x+2ye^{y^{2}})}\)
\(\displaystyle{ f^{'}y_{(x,y)}= \frac{1}{x^{2}+e^{y^{2}}} \cdot \left( 2y \cdot e^{y^{2}} \right)}\)
3. Ukąłd równań: \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+2ye^{y^{2}}=0 \\ 2y \cdot e^{y^{2}}=0 \end{cases}}\)
i dalej wychodzi mi \(\displaystyle{ x= -ye^{y^{2}}}\) a ajk wyliczyć \(\displaystyle{ y}\) ?

tak ?

[miki999]

Pochodna po iksie źle policzona.

[okon]

nie umiesz liczyc pochodnych...
pochodna po iksie

[makintosh]

cholera, nie obczajam. źle jest z \(\displaystyle{ e}\) tak ?

[okon]

no

[makintosh]

aha, czyli będzie \(\displaystyle{ f^{'}x_{(x,y)}= \frac{1}{x^{2}+e^{y^{2}}} \cdot \left( 2x+y^{2}e^{y^{2}} \right)}\) tak ?

[miki999]

\(\displaystyle{ e^{y^2}}\) jest stałą względem iksa. Tak samo jak w pochodnej po ygreku \(\displaystyle{ x^2}\) jest stałą względem ygreka.

[makintosh]

czyli zostaje mi samo \(\displaystyle{ 2x}\) ?

i mam \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x=0 \\ 2y \cdot e^{y^{2}}=0 \end{cases}}\)

z tego mi wychodzi\(\displaystyle{ x=0}\)
a co z y ? jak go wyciągnąć ?

[miki999]

Źle.
Pochodna po ygreku była dobrze. Po iksie źle.

[makintosh]

tak, czyli pochodną po ygreku zostawiłam, a przy xowej \(\displaystyle{ e}\) potraktowałam jako jest stałą względem iksa.

[miki999]

Nie wiem, czy dobrze zrobiłaś i podany układ jest już przekształcony. Potwierdź.

Dalsza wskazówka odnośnie rozwiązania: \(\displaystyle{ e^{y^2}}\) jest zawsze dodatnie.

[makintosh]

tak, podany ukąłd jest już przekształcony, mam nadzieję, że jest dobrze
skoro \(\displaystyle{ e^{y^{2}}}\) jest zawsze dodatnie, tzn. że mogę przez nie podzielić i \(\displaystyle{ y}\) również wyjdzie mi \(\displaystyle{ 0}\) ??

[miki999]

Dokładnie tak
Jeszcze tylko na szybko spr., że ten pkt. należy do dziedziny i przejdź do kolejnego etapu.

[makintosh]

mam pkt. \(\displaystyle{ (0,0)}\) należący do dziedziny, więc teraz wywalam drguie pochodne

-- 2 wrz 2011, o 15:15 --

mam tak:

\(\displaystyle{ f^{''}_{xx} \left( x,y \right) = \frac{2 \left( x^{2}+e^{y^{2}} \right) -4x^{2}}{ \left( x^{2}+e^{y^{2}} \right) ^{2} } \\
f^{''}_{yy} \left( x,y \right) = \frac{ \left( 2e^{y^{2}}+2y \cdot 2y \cdot e^{y^{2}} \right) \left( x^{2}+e^{y^{2}} \right) - \left( 2ye^{y^{2}} \cdot 2ye^{y^{2}} \right) }{ \left( x^{2}+e^{y^{2}} \right) ^{2}}}\)

fakt, zgubiałm przy przepisywaniu

[miki999]

W drugiej pochodnej po \(\displaystyle{ y}\) pierwszy nawias w liczniku powinien być przemnożony przez \(\displaystyle{ x^{2}+e^{y^{2}}}\)