Dla jakich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ A, B, C}\) funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{e^{4x} + Ax+B}{x^2} \ \ \ \ x \neq 0 \\ C \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = 0\end{cases}}\)
jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ 0}\).Mój szkic rozwiązania: Po pierwsze musi zachodzić ciągłość:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{e^{4x} + Ax+B}{x^2}}\) ma być skończona, więc z de l'Hospitala \(\displaystyle{ B=-1}\) i \(\displaystyle{ A=-4}\). Wychodzi, że Granica ta równa jest \(\displaystyle{ 8}\) , czyli \(\displaystyle{ C=8}\).
Czy więc trójka \(\displaystyle{ (A,B,C) = (-4, -1, 8)}\) jest jedyna która spełnia warunek ciągłości z zerze ?
