mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Anka20 »

Jak rozwiązać to zadanie?
Zbadaj, czy mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases}x+y+ \frac{xy ^{3} }{x ^{2}+y ^{4} }\ \text{dla} \ (x,y) \neq (0,0) \\0 \ \text{dla} \ (x,y)=(0,0)\end{cases}}\),
są równe w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\).
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2011, o 13:35 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Lorek »

Na początek to warto wyznaczyć pochodne pierwszego rzędu w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i otoczeniu tego punktu.
Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Anka20 »

W książce znalazłam coś takiego że jesli funkcja w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) jest określona osobnym wzorem to pochodne czastkowe mieszane musimy obliczyc z definicji i beda nam potrzebne pochodne czastkowe. wyszlo mi
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} (\Delta x,0)=1 \\ \frac{ \partial f}{ \partial x} (0,\Delta y)=1+(\Delta y ) ^{-5} +(\Delta y ) ^{-4}}\)
i chyba w tym drugim cos jest zle?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Lorek »

No coś jest, i w ogóle ten zapis trochę dziwny.
Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Anka20 »

czemu dziwny? tak jest w Gewercie
a pochodne czastkowe
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} f}{ \partial x}(0,0)=1 \\ \frac{ \partial ^{2} f}{ \partial y}(0,0)=1}\)
takie mi wyszły
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Lorek »

Drugiego rzędu? A po co ci pochodne drugiego rzędu?
Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Anka20 »

sory maja byc
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(0,0)=1 \\ \frac{ \partial f}{ \partial y}(0,0)=1}\)
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Lorek »

No tak, tyle wychodzi. Teraz pozostaje mieszane wyznaczyć.
Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Anka20 »

ale jak?
bo to
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} (0,\Delta y)=1+(\Delta y ) ^{-5} +(\Delta y ) ^{-4}}\)
jest chyba źle a wzór na pochodne mieszane drugiego rzedu w ksiazce jest taki:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} f}{ \partial x \partial y} (0,0)= \lim_{ \Delta x \to 0} \frac{ \frac{ \partial f}{ \partial y} (\Delta x,0)- \frac{ \partial f}{ \partial y} (0,0)}{\Delta x}}\)
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Lorek »

Wzór masz dobry, jeszcze musisz wyznaczyć ile to jest \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} (\Delta x,0)}\), a potem policzyć granicę.
Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Anka20 »

Anka20 pisze: \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} (\Delta x,0)=1 \\ \frac{ \partial f}{ \partial x} (0,\Delta y)=1+(\Delta y ) ^{-5} +(\Delta y ) ^{-4}}\)
i chyba w tym drugim cos jest zle?
-- 1 wrz 2011, o 14:43 --

Może ktoś sprawdzić:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} \left( 0,\Delta y \right) = \frac{ \partial }{ \partial x} \left( x+y+ \frac{xy ^{3} }{x ^{2}+y ^{4} }\ \right) _{ \left( 0,\Delta y \right) }=1+ \frac{y ^{3} \left( x ^{2} +y ^{4} \right) -xy ^{3} \cdot 2x }{ \left( x ^{2}+y ^{4} \right) ^{2} } _{ \left( 0,\Delta y \right) } = 1+ \frac{\Delta y ^{3} \cdot \Delta y ^{4} }{\Delta y ^{8} } =1+ \frac{1}{\Delta y} \\ \frac{ \partial ^{2} f}{ \partial y \partial x} \left( 0,0 \right) = \lim_{ \Delta y \to 0} \frac{1+ \frac{1}{\Delta y}-1 }{\Delta y} =}\)
i ile to bedzie?
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2011, o 18:07 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Lorek »

Anka20 pisze: \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} (\Delta x,0)=1}\)
A no rzeczywiście, jakoś inaczej na to patrzyłem i myślałem, że coś jest nie tak.
\(\displaystyle{ \lim_{ \Delta y \to 0} \frac{1+ \frac{1}{\Delta y}-1 }{\Delta y} =}\)
i ile to bedzie?
No jak ile? Prosta granica do policzenia.
Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Anka20 »

\(\displaystyle{ \lim_{ \Delta y \to 0} \frac{1}{\Delta y} \cdot \frac{1}{\Delta y}= ?}\)
\(\displaystyle{ 0}\) by było jakby \(\displaystyle{ \Delta y \rightarrow \infty}\)-- 1 wrz 2011, o 20:24 --z de l hospitala dalej?
i bedzie \(\displaystyle{ 0}\)?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Lorek »

Z delopitala? A masz odpowiednie wyrażenie? Masz \(\displaystyle{ \frac{1}{(\Delta y)^2}}\), ile to jest równe przy \(\displaystyle{ \Delta y\to 0}\)?
Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Post autor: Anka20 »

\(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\)
ODPOWIEDZ