Sprawdzenie dowodu z f. wielu zmiennych.
: 30 sie 2011, o 21:40
Twierdzenie: Jeśli funkcja f n zmiennych ma w punkcie x różniczkę, to istnieją w tym punkcie wszystkie pochodne cząstkowe i są równe współczynnikom różniczki:
\(\displaystyle{ f(x+\Delta x)=f(x)+ \sum_{i=1}^{n} \frac{ \partial f}{ \partial x_i}(x) \cdot \Delta x_i + o(||\Delta x ||)}\),
gdzie \(\displaystyle{ x, \Delta x \in \mathbb{R}^n}\), a \(\displaystyle{ ||\Delta x||=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \Delta x_i ^2}}\)
Wspólnie z kolegą wymyśliliśmy taki dowód:
Niech \(\displaystyle{ g(x_i)=f(x_1,...,x_i,...x_n)}\) będzie funkcją jednej zmiennej \(\displaystyle{ x_i}\)
\(\displaystyle{ g(x_i + \Delta x_i)=f(x_1+ \Delta x_1,..., x_i + \Delta x_i,...,x_n+\Delta x_n)}\)
Weźmy teraz \(\displaystyle{ \Delta x_j = 0 \ dla \ j \neq i}\) i wtedy mamy:
\(\displaystyle{ g(x_i+ \Delta x_i)=f(x_1,...,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},...x_n)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ g(x_i+ \Delta x_i)=g(x_i)+\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x_i}g(x_i) \cdot \Delta x_i + o(\Delta x_i)}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,n}\)
A to jest już warunek z twierdzenia dla różniczki funkcji jednej zmiennej. Można tak to twierdzenie sprowadzić do tego z funkcji jednej zmiennej?
Dziękuję i pozdrawiam,
A.
\(\displaystyle{ f(x+\Delta x)=f(x)+ \sum_{i=1}^{n} \frac{ \partial f}{ \partial x_i}(x) \cdot \Delta x_i + o(||\Delta x ||)}\),
gdzie \(\displaystyle{ x, \Delta x \in \mathbb{R}^n}\), a \(\displaystyle{ ||\Delta x||=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \Delta x_i ^2}}\)
Wspólnie z kolegą wymyśliliśmy taki dowód:
Niech \(\displaystyle{ g(x_i)=f(x_1,...,x_i,...x_n)}\) będzie funkcją jednej zmiennej \(\displaystyle{ x_i}\)
\(\displaystyle{ g(x_i + \Delta x_i)=f(x_1+ \Delta x_1,..., x_i + \Delta x_i,...,x_n+\Delta x_n)}\)
Weźmy teraz \(\displaystyle{ \Delta x_j = 0 \ dla \ j \neq i}\) i wtedy mamy:
\(\displaystyle{ g(x_i+ \Delta x_i)=f(x_1,...,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},...x_n)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ g(x_i+ \Delta x_i)=g(x_i)+\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x_i}g(x_i) \cdot \Delta x_i + o(\Delta x_i)}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,n}\)
A to jest już warunek z twierdzenia dla różniczki funkcji jednej zmiennej. Można tak to twierdzenie sprowadzić do tego z funkcji jednej zmiennej?
Dziękuję i pozdrawiam,
A.