Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

[Anka20]

Oblicz pochodną kierunkową funkcji \(\displaystyle{ F(x,y)=\arctan \frac{y}{x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x _{0},y _{0})=(3,4)}\) w kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{h}=(-4,-3)}\).
Jak to zrobić?

[ares41]

Z definicji mamy:
\(\displaystyle{ \nabla_{[a,b]}f(x,y)=\nabla f(x,y) \cdot [a,b]}\)
Policz więc najpierw \(\displaystyle{ \nabla f(x,y)}\)

[Anka20]

My uczylismy sie na takim wzorze
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial \vec{h} } (3,4)= \lim_{ t\to 0} \frac{F(3-4t,4-3t)-F(3,4)}{t} =}\)
tylko nie wiem jak dalej

[ares41]

No to ile to jest \(\displaystyle{ F(3-4t,4-3t)}\) ?

[Anka20]

\(\displaystyle{ \arctan \frac{3}{4}}\) czyli ogolnie wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\)?

[ares41]

Nie.
\(\displaystyle{ F(3-4t,4-3t)=\arc \tg { \frac{4-3t}{3-4t} }}\)
Obliczając granicę dochodzimy do symbolu nieoznaczonego \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\).
Skorzystaj więc z reguły de L'Hospitala.

[Anka20]

\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \frac{0}{t} =\boxed{\frac{0}{0}}\stackrel{[H]}{=} \lim_{ t\to 0 } \frac{(0)'}{(t)'} = \lim_{ t\to 0} \frac{0}{1} =0}\)???

[ares41]

Nie. Jak oblicza się granice korzystając z reguły de L'Hospitala?

[Anka20]

liczymy pochodna z licznika i mianownika

[bartek118]

No to policz pochodną licznika i mianownika

[ares41]

liczymy pochodna z licznika i mianownika

A czy to twierdzenie mówi, że do licznika, przed zróżniczkowaniem, wrzucamy policzoną już (błędnie) granicę licznika?

Przecież mamy tutaj do policzenia granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \frac{\arc \tg { \frac{4-3t}{3-4t} }-\arc \tg {\frac{4}{3}}}{t}}\)
więc zastosuj tutaj regułę de L'Hospitala.

[Anka20]

nie wiem jak obliczyc ta pochodna

[ares41]

Jak liczy się pochodne funkcji złożonej?

[Anka20]

\(\displaystyle{ \left( \arctan \frac{4-3t}{3-4t} - \arctan \frac{4}{3} \right) '= \frac{1}{1+ \left( \frac{4-3t}{3-4t} \right) ^{2} } -0}\) ale w tym pierwszym jeszcze będzie \(\displaystyle{ \cdot}\) cos ale nie wiem co (\(\displaystyle{ -3}\)?) prosze o pomoc

[ares41]

Ile wynosi pochodna z
\(\displaystyle{ \arctan \frac{4-3t}{3-4t}}\) ?
Rozpisz to krok po kroku.