ekstremum funkcji dwóch zmiennych

[kyjta]

proszę o pomoc w zadaniu, w którym trzeba wyznaczyć ekstremum funkcji:

\(\displaystyle{ f(x,y)=\sin x + \sin y + \sin(x+y)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}=\cos x + \cos(x+y)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}=\cos y + \cos(x+y)}\)

Mam problem z rozwiązaniem poniższego układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x + \cos(x+y)=0\\ \cos y + \cos(x+y)=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \cos x + \cos(x+y)=0 \Rightarrow \cos(x+y)=- \cos x}\)
\(\displaystyle{ \cos y - \cos x=0}\)
\(\displaystyle{ \cos y = \cos x \Rightarrow x=y ? ? ?}\)

\(\displaystyle{ \cos x + \cos 2x=0}\)

[aalmond]

\(\displaystyle{ \cos y = \cos x \Rightarrow x=y}\) ? ? ?

Nie tylko. Pozostań na podstawieniu: \(\displaystyle{ \cos y = \cos x}\)

Rozwiń cosinus sumy i zrób podstawienie.

[kyjta]

czyli dalej będzie....

\(\displaystyle{ \cos(x+y)=- \cos x}\)
\(\displaystyle{ \cos x\cos y - \sin x \sin y = -\cos x}\)

podstawiam \(\displaystyle{ \cos y = \cos x}\)

\(\displaystyle{ \cos y\cos y - \sin x \sin y = -\cos y}\)

\(\displaystyle{ \cos^2 y - \sin x \sin y = -\cos y}\)

\(\displaystyle{ \cos^2 y +\cos y- \sin x \sin y =0}\)?

[Chromosom]

kyjta, wystarczy skorzystać ze wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych. Poprawny wynik uzyskasz znacznie szybciej.