Ekstrema dwóch zmiennych [sprawdzenie]

[soriofcb]

Czy to tak trzeba robić???

\(\displaystyle{ f\left( x,y\right) = 3xy - x^{3} - 2 y^{3}}\)
\(\displaystyle{ f'\left( x\right)= 3y - 3x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ f'\left( y\right)= 3x - 6y ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3y - 3x ^{2}=0 \\ 3x - 6y ^{2}=0 \end{cases}}\)
i wychodzi ze x=0 i y= 0 dobrze to zaczynam ??? dobrze mi ten punkt wyszedł ???

[Juankm]

Będzie trochę więcej tych rozwiązań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3y - 3x ^{2}=0 \\ 3x - 6y ^{2}=0 \end{cases} \\ \\ \begin{cases} 3y = 3x ^{2} \\ 3x = 6y ^{2} \end{cases} \\ \\ \begin{cases} 3y = 3x ^{2} \\ 3x = (3y)^{2} \cdot \frac{2}{3} \end{cases} \\ \\ \begin{cases} 3y = 3x ^{2} \\ 3x = (3x^{2})^{2} \cdot \frac{2}{3} \end{cases} \\ \\ \begin{cases} 3y = 3x ^{2} \\ 3x = 9x^{4} \cdot \frac{2}{3} \end{cases} \\ \\ \begin{cases} 3y = 3x ^{2} \\ 3x = 6x^{4} \Rightarrow x=0 \cup x \neq 0 \end{cases} \\ \\ \begin{cases} x \neq 0 \\ 3y = 3x ^{2} \\ 3x = 6x^{4} \end{cases}\\ \\ \begin{cases} x \neq 0 \\ 3y = 3x ^{2} \\ 3 = 6x^{3} \end{cases} \\ \\ \Longrightarrow x=0 \cup x^{3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\ \\ 1) x=0 \Rightarrow y=0 \\ 2) x^{3}=\frac{1}{2} \Rightarrow x= 2^{-\frac{1}{3}} \Rightarrow 3y=3(2^{-\frac{1}{3}})^{2} \Rightarrow y= 2^{-\frac{2}{3}}}\)

A teraz jeszcze musisz sprawdzić minory główne Hesjanu dla tych punktów: \(\displaystyle{ (0,0), ( 2^{-\frac{1}{3}}, 2^{-\frac{2}{3}})}\)

Hesjan funkcji \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ H_{f(x,y)}= \begin{bmatrix} -6x&3\\3&-12y\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} H_{f(0,0)}= \begin{bmatrix} 0&3\\3&0\end{bmatrix} \\ H_{f ( 2^{-\frac{1}{3}}, 2^{-\frac{2}{3}}) }= \begin{bmatrix} -6\cdot 2^{-\frac{1}{3}}&3\\3&-12\cdot 2^{-\frac{2}{3}}\end{bmatrix} \end{cases}}\)

[soriofcb]

co nam daje \(\displaystyle{ x^{3} ??}\) jak wyliczyć y ? potrzebny do współrzędnych punktu-- 29 cze 2011, o 18:20 --jak sprawdzić minor główny hesjanu ? bo nie mam pojęcia,

[Juankm]

\(\displaystyle{ H_{f(x,y)}= \begin{bmatrix} -6x&3\\3&-12y\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} H_{f(0,0)}= \begin{bmatrix} 0&3\\3&0\end{bmatrix} \begin{cases} \begin{vmatrix} 0 \end{vmatrix}=0 \\ \begin{vmatrix} 0&3 \\ 3&0 \end{vmatrix}=0 \cdot 0 - 3 \cdot 3= -9 < 0 \end{cases} \\ H_{f ( 2^{-\frac{1}{3}}, 2^{-\frac{2}{3}}) }= \begin{bmatrix} -6\cdot 2^{-\frac{1}{3}}&3\\3&-12\cdot 2^{-\frac{2}{3}}\end{bmatrix} \begin{cases} \begin{vmatrix} -6\cdot 2^{-\frac{1}{3}} \end{vmatrix}=-6\cdot 2^{-\frac{1}{3}}<0 \\ \begin{vmatrix} -6\cdot 2^{-\frac{1}{3}}&3\\3&-12\cdot 2^{-\frac{2}{3}} \end{vmatrix}=72 \cdot 2^{-1} - 9>0 \end{cases} \end{cases} \\ \\ \Longrightarrow ( 2^{-\frac{1}{3}}, 2^{-\frac{2}{3}})}\)
jest punktem, gdzie \(\displaystyle{ f}\) osiąga maksimum bo wyznacznik hesjanu jest dodatni, a pochodne cząstkowe są tego samego, ujemnego znaku

\(\displaystyle{ \Longrightarrow (0,0)}\) jest punktem, gdzie \(\displaystyle{ f}\) nie ma ekstremum lokalnego, bo wyznacznik hesjanu jest ujemny.