ekstrema lokalne f. 2 zmiennych - 2 zadania

[pavel332]

Oba zadania z egzaminu z maty i w każdym się zaciąłem nie wiedząc co dalej robić

1. \(\displaystyle{ z= e^{ \frac{x}{2} } (x+y)^{2}}\)
liczę pochodne:
po x : \(\displaystyle{ \frac{1}{2} e^{ \frac{x}{2} }(x+y)^{2}+(2x+2y) e^{\frac{x}{2}}}\)
po y : \(\displaystyle{ (2x+2y) e^{ \frac{x}{2}}\)
układ równań :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} e^{ \frac{x}{2} }(x+y)^{2}+(2x+2y) e^{\frac{x}{2}} =0}\)
\(\displaystyle{ (2x+2y) e^{ \frac{x}{2}=0}\)
jeśli są równe sobie to dzielę oba przez \(\displaystyle{ e^{ \frac{x}{2}}\)
i mam układ:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(x+y)^{2}+2x+2y=0}\)
\(\displaystyle{ 2x+2y=0 \Rightarrow x=-y}\)
z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (0) ^{2}+2y-2y=0 \Rightarrow 0=0}\)
o ile sie nie myle to nazywa się to równanie tożsamościowe (0=0). Nie wiem co dalej z tym począć

2. \(\displaystyle{ z= x^{3} + 3x^{2}y-6xy- 3y^{2} -15x-15y}\)

po x : \(\displaystyle{ 3x^{2}+6xy-6y-15}\)
po y: \(\displaystyle{ 3x^{2}-6x-6y-15}\)
układ równań:
\(\displaystyle{ 3x^{2}+6xy-6y-15=0}\)
\(\displaystyle{ 3x^{2}-6x-6y-15=0}\)
jeśli są sobie równe to dzielę oba przez \(\displaystyle{ 3x^{2}-6y-15}\)
i wychodzi mi
6xy=-6x dzielę przez x
y=-1, x=dowolne(?)
i tu znów nie wiem co dalej jak x jest dowolne.
próbowałem liczyć dalej podstawiając x za x ale nic dobrego z tego nie wyszło.

Proszę o pomoc w tych (za pewno) prostych zadaniach bo kurde w poniedziałem 3 termin z maty a ja dalej mam chaos w głowie

[Kartezjusz]

Podstawiasz otrzymane wnioski do równań wyjściowych i badasz funkcję 1 zmiennej.

[pavel332]

Poradziłem sobie już z 2 przykładem bo okazało się że źle wyznaczyłem x i y.... ma być x=0 i y=-1 i wtedy ładnie wychodzi mi.

Problem mam nadal z pierwszym. Mam wstawić otrzymane wnioski do równania i liczyć ekstrema 1 zmiennej... Hmm, no to jeśli wyszło tożsamościowe to co mam wstawić? x=y ?
jak tak zrobię to wychodzą mi 2 miejsca zerowe: x=0 i x=-4 i nie wiem co dalej.

Mam jeszcze kolejne zadanie które tez zrobiłem w podobny sposób i wyszło co innego niż w odpowiedziach :
\(\displaystyle{ z=x^{4}+y^{4}-4x^{2}+8xy-4y^{2}}\)
po policzeniu pochodnych i rozwiązaniu układu wychodzi x=y więc wstawiam to do równania i otrzymuje
\(\displaystyle{ z=2x^{4}}\) pochodna z tego 8x wiec x=0 ...
w odpowiedziach jest Zmin=(2, -2) oraz (-2, 2) .Nie wiem jak to policzyć