Różniczka 2 rzędu

[mat66660]

Witam mam taki przykład i nie bardzo wiem jak się za niego zabrać:
Wyznaczyć całki szczególne następujących zagadnień początkowych:

\(\displaystyle{ y"=(y') ^{2} -y ,\ y(1)= \frac{1}{4} , \ y'(1)= \frac{1}{2}}\)

Jest tu jednak osobne y z którym nie bardzo wiem co zrobić myślę ,ze trzeba tu dać podstawienie \(\displaystyle{ y'=u}\) i \(\displaystyle{ y"=u'}\) ,dalej metoda podstawiania ale właśnie co zrobić z wolnym \(\displaystyle{ y}\) bardzo bym prosił o pomoc.

[Juankm]

1) \(\displaystyle{ e^{u}:=y \Longrightarrow y\prime=e^{u} \cdot u\prime \ , \ y\prime \prime= e^{u} \cdot u\prime \prime + (e^{u} \cdot u\prime) \cdot u\prime= e^{u} [ u\prime \prime + (u\prime)^{2}]}\)

2) \(\displaystyle{ t=u\prime \iff t\prime = u\prime \prime}\)

3) otrzymasz równanie o zmiennych rozdzielonych dla \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ x}\), rozwiązujesz i znajdujesz rozwiązania spełniające warunki początkowe

[mat66660]

Czyli dobrze rozumuje:

\(\displaystyle{ e ^{u} [(u"+(u') ^{2} ]=(e ^{u} \cdot u') ^{2} -e ^{u}}\)

\(\displaystyle{ e ^{u} [t'+(t) ^{2} ]=(e ^{u} \cdot t) ^{2} -e ^{u}}\)

\(\displaystyle{ t'e ^{u} +t ^{2} e ^{u} =e ^{2u} \cdot t ^{2} -e ^{u} /:e ^{u}}\)

\(\displaystyle{ t'+t ^{2} =t ^{2} e ^{u} -1}\)

\(\displaystyle{ t'=t ^{2} e ^{u} -1-t ^{2}}\)

\(\displaystyle{ t'=t ^{2} (e ^{u} -1)-1}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{t}= \int_{}^{} (e ^{u}-1)-1dt}\)
Wybaczcie jak coś ale ja się dopiero tego uczę;)

[Juankm]

Wybacz, ale wprowadziłem Cię w błąd. Tu chyba trzeba znaleźć jakieś dowolne rozwiązanie szczególne, żeby móc to rozwiązywać ogólnie...
Poza tym przez \(\displaystyle{ t^{\prime}, u^{\prime}, y^{\prime}}\) rozumiem pochodną po \(\displaystyle{ x}\)-ie.
Miłego szukania, bo chyba inaczej się tego nie da zrobić.