Matematyka.pl

Cześć!

Mam zbadać różniczkowalność w (0,0) funkcji f(x)

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \left( 1+x+ \frac{sin(xy^{2})}{x^{2}+y^{2}} \right), x \neq (0,0) \\ 1,x=(0,0) \end{cases}}\)

Dla pierwszej pochodnej cząstkowej (po x) jest fajnie, bo wychodzi że istnieje i równa się 1. Ale problem jest z pochodną dla y... mianowicie:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}\left( 1+x+ \frac{sin(xy^{2})}{x^{2}+y^{2}} \right)}\)

mi tam wychodzi \(\displaystyle{ \lim_{ h\to0 } \frac{1-1}{h}}\)...

kbzium pisze: mi tam wychodzi \(\displaystyle{ \lim_{ h\to0 } \frac{1-1}{h}}\)...

Co za problem z tą granicą?

Problem jest taki, że wtedy granica nie istnieje i nie ma pochodnej cząstkowej. Czyli odpowiedź po prostu jest że funkcja nie jest różniczkowalna w tym punkcie?

Ta granica istnieje i jest równa \(\displaystyle{ 0.}\) Spróbuj policzyć wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1-1}{h}}\) dla kolejnych, malejących \(\displaystyle{ h:}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-1}{0.01}, \frac{1-1}{0.00001}, \frac{1-1}{0.00000000001} \cdots}\)