Witam, mam problem związany z wynikiem granicy, przy badaniu różniczkowa ln o ści.
Na pewnym etapie zadania mam do policzenia taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} }}\)
Chciałem skorzystać z właśności, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}\), czyli napisałem:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{1}{h_1^2 + h_2^2} \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \frac{1}{\sqrt{h_1^2 + h_2^2}} } =1 (?)}\)
..i teraz widać, że cała granica powinna być 1, tak? Wyrażenia odpowiednie się skrócą i dos an i e się 1 -dobrze myślę?
Natomiast na ćwiczeniach tą granicę rozwiązali tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } = \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \sqrt{h_1^2 + h_2^2} \sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } = 0}\)
Ja nie widzę w żadnych rozwiązaniach błędu jakiegoś dlatego proszę Was o jakąś pomoc, bo przecież dwa wyniki wyjść nie mogą
Pozdrawiam
Badanie różniczkowalności - problem z granicą
-
pipol
Badanie różniczkowalności - problem z granicą
Zauważ, że gdy \(\displaystyle{ h_1 \rightarrow 0 \wedge h_2 \rightarrow 0}\) to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{h_1^2 +h_2^2}} \rightarrow +\infty}\) a nie do zera, więc nie możesz skorzystać z granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 }\frac{\sin x}{x} .}\)