Wzor Taylora dla funkcji uwikłanej.

[Karka]

Cześć,
Mam znaleźć przbliżenie funkcji uwikłanej y=y(x) wielomianem stopnia n w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x_{0}.}\)
Jak napisac wzor Taylora na przyklad dla takiej funkcji:
\(\displaystyle{ e^{xy}-x^{2}y-1=0}\)
dla \(\displaystyle{ n=2}\) i \(\displaystyle{ x_{0}=1}\)

Ten wzór bedzie wygladal tak?:
\(\displaystyle{ y=y(x_{0})+\frac{y'(x_{0})(x-x_{0})}{1}+\frac{y''(x_{0})(x-x_{0})^2}{2}}\)?
\(\displaystyle{ y'(x_{0})=-\frac{\frac{\partial f}{ \partial x}(1,0)}{\frac{\partial f}{ \partial y}(1,0)}}\)
\(\displaystyle{ y''(x_{0})=-\frac{\frac{\partial^{2} f}{ \partial x}(1,0)}{\frac{\partial f}{ \partial y}(1,0)}}\)?

Nie jestem pewna czy mogę tak obliczyc pochodne

[octahedron]

\(\displaystyle{ y''=\left( y'\right) '=\left( -\frac{f_x}{f_y} \right)'= -\frac{f_y\left( f_{xx}+f_{xy} \cdot y'\right) -f_x\left( f_{yx}+f_{yy}\cdot y'\right) }{\left( f_y\right) ^2}}\)

[Karka]

Dziekuje, a wzor Taylora mam dobrze?

[octahedron]

Dobrze, tylko dla jakiego \(\displaystyle{ y_o}\) masz rozwinąć funkcję? \(\displaystyle{ f_y=xe^{xy}-x^2}\) i w punkcie \(\displaystyle{ (1,0)}\) mamy \(\displaystyle{ f_y=0}\)

[Karka]

W temacie nie ma \(\displaystyle{ y_{0}}\). Ale chyba jak jest podane \(\displaystyle{ x_{0}}\) to nie moze byc innego \(\displaystyle{ y_{0}}\) niz ten ktory odpowiada \(\displaystyle{ x_{0}}\). U nas na cwiczeniach to sie tak liczylo w kazdym razie:).

[octahedron]

Miałem na myśli \(\displaystyle{ x_o}\), nie \(\displaystyle{ y_o}\) . Ale chodzi mi o to, że w \(\displaystyle{ (1,0)}\) \(\displaystyle{ f_y}\) się zeruje i funkcji nie da się rozwikłać