pochodne funkcji złożonych

[momox]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \ln \sqrt{ \frac{1+t}{1-t} }}\)

Jednocześnie proszę o sprawdzenie wyników następujących pochodnych funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = x^{ \sin x } = x^{ \sin x } \left( \cos x \ln x + \frac{ \sin x }{x} \right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ f(x) = \arcsin \sqrt{ t^{3} } = \frac{3}{2} \sqrt{ \frac{t}{1- t^{5} } }}\)

Dziekuję i pozdrawiam.

[adambak]

jesteś pewien że \(\displaystyle{ f(x)=ln \sqrt{ \frac{1+t}{1-t} }}\) ?
to oczywiście ma sens, ale bardziej podejrzewam Twoje przeoczenie (bez urazy). funkcja \(\displaystyle{ f}\) zależy od \(\displaystyle{ x}\) w takim razie \(\displaystyle{ t}\) jest stałą, we wzorze na \(\displaystyle{ f}\) nie ma \(\displaystyle{ x}\) więc jest to stała wartość a pochodna ze stałej to zero. z tym co napisałeś jest: \(\displaystyle{ f'(x)=0}\)



co do sprawdzenia to:

taki zapis
\(\displaystyle{ f(x)=x^{sinx}=x^{sinx}(cosxlnx+ \frac{sinx}{x})}\)
jest co najmniej bez sensu, bo to nie jest równość rozumiem że miało być:
\(\displaystyle{ f(x)=x^{sinx}}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ f'(x)=x^{sinx} \cdot ( \frac{sinx}{x} +lnx \cdot cosx)}\) i to jest ok..

w kolejnej to samo co w pierwszej, wątpię że tak miało być..

[momox]

Oczywiście przepraszam za zapis. A co do funkcji ln to w zadaniu mam t ale potraktujmy je jako x, co zatem?

[adambak]

zatem pochodna funkcji złożonej to pochodna funkcji zewnętrznej razy pochodna funkcji wewnętrznej razy pochodna funkcji wewnętrznej wewnętrznej i tak dalej.. czyli zaczynając od najbardziej zewnętrznej:


\(\displaystyle{ f(x)=\ln (\sqrt{ \frac{1+x}{1-x} })}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{\sqrt{ \frac{1+x}{1-x} }} \cdot (\sqrt{ \frac{1+x}{1-x} })'}\)

spróbuj obliczyć i uprościć, sprawdzimy czy dobrze, powiem tylko że wychodzi ślicznie..

z arcusem sinusem też coś jest nie tak..

-- 23 maja 2011, o 21:47 --

\(\displaystyle{ f(x)=\arcsin(\sqrt{x^3})= \arcsin(x^{ \frac{3}{2} })}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1-x^3}}}\)

[momox]

O ile się nie pomyliłem to doszedłem do \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{ \frac{2x+2}{ (1-x)^{2} } } } \cdot \frac{-x}{(1-x) ^{2} }}\)

[adambak]

ok, to już napiszę jak powinno być, jakbyś czegoś nie rozumiał to pytaj..

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}= (\frac{1+x}{1-x})^{ \frac{1}{2} }}\)

więc:
\(\displaystyle{ (\sqrt{\frac{1+x}{1-x}})' = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1+x}{1-x})^{- \frac{1}{2} } \cdot ( \frac{1+x}{1-x} )' = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{ \frac{1-x}{1+x} } \cdot \frac{2}{(1-x)^2}}\)

koniec końców otrzymamy:
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{1-x^2}}\)-- 23 maja 2011, o 23:12 --dla \(\displaystyle{ ( \frac{1+x}{1-x} )'}\) oczywiście zastosowałem wzór na pochodną ilorazu funkcji..