Witam.
Mam do wykazania taką nierównosć, ale niezbyt mam pomysł jak się za to zabrać. Z góry dzieki za pomoc.
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} < ln(x+1), x>0}\)
Wykaż nierównosć
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Wykaż nierównosć
Może tak :
- obie są ściśle rosnące w podanym przedziale
- pokazać gdzie się przecinają w przedziale \(\displaystyle{ x\geq0}\)
- kończyć.
- obie są ściśle rosnące w podanym przedziale
- pokazać gdzie się przecinają w przedziale \(\displaystyle{ x\geq0}\)
- kończyć.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykaż nierównosć
Ja bym raczej proponował rozważenie funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=(x+1)\cdot \ln (x+1) - x}\)
obliczenie jej pochodnej:
\(\displaystyle{ f'(x)=\ln (x+1)}\)
i wywnioskowanie stąd, że w przedziale \(\displaystyle{ [0,+infty )}\) ta funkcja jest rosnąca, więc w szczególności dla \(\displaystyle{ x>0}\) jest:
\(\displaystyle{ f(x)>f(0)=0}\)
co właśnie oznacza tezę.
Q.
\(\displaystyle{ f(x)=(x+1)\cdot \ln (x+1) - x}\)
obliczenie jej pochodnej:
\(\displaystyle{ f'(x)=\ln (x+1)}\)
i wywnioskowanie stąd, że w przedziale \(\displaystyle{ [0,+infty )}\) ta funkcja jest rosnąca, więc w szczególności dla \(\displaystyle{ x>0}\) jest:
\(\displaystyle{ f(x)>f(0)=0}\)
co właśnie oznacza tezę.
Q.