potrzebuje obliczyć argument dla najmniejszej wartości tej funkcji:
\(\displaystyle{ t(x)=\frac{x}{10}+ \frac{ \sqrt{ 20^{2}+(80-x) ^{2} } }{4}}\), ale za nic nie moge ani doprowadzić jej do prostszej postaci, ani wyliczyć jej pochodnej .
Czy ktoś mógłby napisać mi po kolei jak wyliczyć pochodną lub chociaż napisać gotowy jej wzór?
Trudna do obliczenia pochodna
Trudna do obliczenia pochodna
Co do liczenia pochodnych potrafie tyle, ile przeczytałem z różnych stron. Jestem w liceum i przy robieniu zadania z fizyki wyszedł mi taki wzór. Facet powiedział, ze najlepiej zrobić to za pomocą pochodnej. Poczytałem troche o tym i mniej więcej rozumiem (chyba).
Wyszła mi taka pochodna: \(\displaystyle{ t'(x)= \frac{1}{10}+ \frac{x-80}{4 \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }}\), a \(\displaystyle{ x_{min} \approx 71.27}\). Mam nadzieję, ze dobrze...
Wyszła mi taka pochodna: \(\displaystyle{ t'(x)= \frac{1}{10}+ \frac{x-80}{4 \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }}\), a \(\displaystyle{ x_{min} \approx 71.27}\). Mam nadzieję, ze dobrze...
Trudna do obliczenia pochodna
a więc:
\(\displaystyle{ t'(x)=0 \Leftrightarrow \frac{1}{10} + \frac{x-80}{4 \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-80}{4 \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }= \frac{-1}{10}}\)
\(\displaystyle{ 10x-800=-4\sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }=-2 \frac{1}{2}x +200}\) //podnosze do kwadratu, warunek: \(\displaystyle{ -2 \frac{1}{2}x+200 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 80}\)
\(\displaystyle{ 20 ^{2}+(80-x) ^{2}=6 \frac{1}{4} x ^{2}+40000-1000x}\)
po uporządkowaniu: \(\displaystyle{ x ^{2} -160x+ \frac{132800}{21}=0}\)
rozwiązująć to wychodzi: \(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} \approx 88,728 \\ x_{2}\approx 71,271 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}}\) nie należy do przedziału, więc najmniejszą wartość przyjmuje dla \(\displaystyle{ x _{min} \approx 71,271}\).
\(\displaystyle{ t'(x)=0 \Leftrightarrow \frac{1}{10} + \frac{x-80}{4 \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-80}{4 \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }= \frac{-1}{10}}\)
\(\displaystyle{ 10x-800=-4\sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }=-2 \frac{1}{2}x +200}\) //podnosze do kwadratu, warunek: \(\displaystyle{ -2 \frac{1}{2}x+200 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 80}\)
\(\displaystyle{ 20 ^{2}+(80-x) ^{2}=6 \frac{1}{4} x ^{2}+40000-1000x}\)
po uporządkowaniu: \(\displaystyle{ x ^{2} -160x+ \frac{132800}{21}=0}\)
rozwiązująć to wychodzi: \(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} \approx 88,728 \\ x_{2}\approx 71,271 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}}\) nie należy do przedziału, więc najmniejszą wartość przyjmuje dla \(\displaystyle{ x _{min} \approx 71,271}\).