Trudna do obliczenia pochodna

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
peter_s19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 31 paź 2010, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Trudna do obliczenia pochodna

Post autor: peter_s19 »

potrzebuje obliczyć argument dla najmniejszej wartości tej funkcji:
\(\displaystyle{ t(x)=\frac{x}{10}+ \frac{ \sqrt{ 20^{2}+(80-x) ^{2} } }{4}}\), ale za nic nie moge ani doprowadzić jej do prostszej postaci, ani wyliczyć jej pochodnej .
Czy ktoś mógłby napisać mi po kolei jak wyliczyć pochodną lub chociaż napisać gotowy jej wzór?
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Trudna do obliczenia pochodna

Post autor: cosinus90 »

Pod pierwiastkiem łopatologicznie - podnieś co trzeba do kwadratu i uporządkuj.
Umiesz w ogóle liczyć pochodne?
peter_s19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 31 paź 2010, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Trudna do obliczenia pochodna

Post autor: peter_s19 »

Co do liczenia pochodnych potrafie tyle, ile przeczytałem z różnych stron. Jestem w liceum i przy robieniu zadania z fizyki wyszedł mi taki wzór. Facet powiedział, ze najlepiej zrobić to za pomocą pochodnej. Poczytałem troche o tym i mniej więcej rozumiem (chyba).
Wyszła mi taka pochodna: \(\displaystyle{ t'(x)= \frac{1}{10}+ \frac{x-80}{4 \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }}\), a \(\displaystyle{ x_{min} \approx 71.27}\). Mam nadzieję, ze dobrze...
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Trudna do obliczenia pochodna

Post autor: cosinus90 »

Pochodna obliczona dobrze. Pokaż, jak przyrównujesz do zera i rozwiązujesz równanie.
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Trudna do obliczenia pochodna

Post autor: bedbet »

Pochodna jest ok. Teraz pytanie, czy potrzebujesz dokładnych wyliczeń, czy tylko przybliżonych?
peter_s19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 31 paź 2010, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Trudna do obliczenia pochodna

Post autor: peter_s19 »

a więc:
\(\displaystyle{ t'(x)=0 \Leftrightarrow \frac{1}{10} + \frac{x-80}{4 \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-80}{4 \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }= \frac{-1}{10}}\)
\(\displaystyle{ 10x-800=-4\sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{20 ^{2}+(80-x) ^{2} } }=-2 \frac{1}{2}x +200}\) //podnosze do kwadratu, warunek: \(\displaystyle{ -2 \frac{1}{2}x+200 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 80}\)
\(\displaystyle{ 20 ^{2}+(80-x) ^{2}=6 \frac{1}{4} x ^{2}+40000-1000x}\)
po uporządkowaniu: \(\displaystyle{ x ^{2} -160x+ \frac{132800}{21}=0}\)
rozwiązująć to wychodzi: \(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} \approx 88,728 \\ x_{2}\approx 71,271 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}}\) nie należy do przedziału, więc najmniejszą wartość przyjmuje dla \(\displaystyle{ x _{min} \approx 71,271}\).
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Trudna do obliczenia pochodna

Post autor: cosinus90 »

Na pierwszy rzut oka wygląda dobrze - może ktoś jeszcze sprawdzić.
ODPOWIEDZ