Funkcja określona na kwadracie

[LUK_MD]

Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji
\(\displaystyle{ f(x; y) = x2 - 4x - 2xy + 2y2 + 2y}\)
określonej na kwadracie \(\displaystyle{ K ={ f(x; y) 2 R2 : 0 \le x \le 2; 0 \le y \le 2}.}\)

[kolorowe skarpetki]

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^2-4x-2xy+2y^2+2y}\)

\(\displaystyle{ K= \left \{ \, (x,y) \in R^2 \colon x \in [0,2] \, , \, y \in [0,2] \, \right \}}\)

1. Obliczamy pochodne cząstkowe i przyrównujemy do zera - punkty muszą należeć do wnętrza zbioru K.

\(\displaystyle{ f'_x=2x-4-2y=0}\)

\(\displaystyle{ f'_y=-2x+4y+2=0}\)

Po rozwiązaniu otrzymujemy \(\displaystyle{ x=3,y=1}\). Punkt (3,1) nie należy do wnętrza zbioru K - odpada.

2. Brzeg obszaru K dzielimy na fragmenty dające się opisać równaniami \(\displaystyle{ y=p(x)}\) lub \(\displaystyle{ x=r(y)}\)

Fragment 1 : \(\displaystyle{ y=0}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,2)}\)

Fragment 2 : \(\displaystyle{ x=2}\) dla \(\displaystyle{ y \in (0,2)}\)

Fragment 3 : \(\displaystyle{ x=0}\) dla \(\displaystyle{ y \in (0,2)}\)

Fragment 4 : \(\displaystyle{ y=2}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,2)}\)

\(\displaystyle{ F_1 : \quad g(x)=f(x,0)=x^2-4x}\)

\(\displaystyle{ g'(x)=2x-4 \, \, , \, \, g'(x)=0 \, \Leftrightarrow \, x=2 \, \not \in (0,2)}\)

\(\displaystyle{ F_2 : \quad g(y)=f(2,y)=2y^2-2y-4}\)

\(\displaystyle{ g'(x)=4y-2 \, \, , \, \, g'(x)=0 \, \Leftrightarrow \, y=\frac{1}{2} \, \in (0,2)}\)

Notujemy punkt \(\displaystyle{ \left (2,\frac{1}{2} \right ).}\)

Analogicznie pozostałe fragmenty.

3. Notujemy końce rozważanych fragmentów, czyli punkty :

\(\displaystyle{ (0,0) \, ,\, (2,0) \, ,\, (2,2) \, ,\, (0,2)}\)

4. Sprawdzamy wartości naszej funkcji f w zanotowanych punktach.

Odp. Wybierasz największą i najmniejszą wartość z punktu 4 i podajesz dla jakich punktów są przyjmowane.