Pochodne funkcji jednej zmiennej

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
miodzio1988

Pochodne funkcji jednej zmiennej

Post autor: miodzio1988 » 15 sie 2010, o 10:52

Pochodne funkcji jednej zmiennej
Skupimy się na praktyce oczywiście. Wszelkie definicje można sobie znaleźć w pierwszej lepszej książce z analizy.
Wzór podstawowy:
\(\displaystyle{ \left(x ^{n}\right) ^\prime= n \cdot x ^{n-1}}\)
Przykład 1
\(\displaystyle{ f\left(x\right)=x}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)=1}\)
Przykład 2
\(\displaystyle{ f\left(x\right)=x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)=2 \cdot x}\)
Przykład 3
\(\displaystyle{ f\left(x\right)=x ^{3}}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)=3 \cdot x ^{2}}\)
Przykład 4
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= 10 \cdot x ^{5}}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)=10 \cdot 5 \cdot x ^{4} =50 x ^{4}}\)
Przykład 5
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= 10}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= 0}\)

I tak z każdą stałą np

\(\displaystyle{ \left(\ln 5\right) ^\prime=0}\)

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{100} \right) ^\prime=0}\)

\(\displaystyle{ \left( 150 \right) ^\prime=0}\)

\(\displaystyle{ \left( \pi \right) ^\prime=0}\)

\(\displaystyle{ \left( e \right) ^\prime=0}\)

\(\displaystyle{ \left( e ^{2} \right) ^\prime=0}\)

\(\displaystyle{ \left( \sin \left(1\right) \right) ^\prime=0}\)
Przykład 6
\(\displaystyle{ f\left(x\right)=\sin x}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \cos x}\)
Przykład 7
\(\displaystyle{ f\left(x\right)=\cos x}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= -\sin x}\)
Przykład 8
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \ln x}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \frac{1}{x}}\)
Przykład 9 (ważny)
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \frac{1}{x} =x ^{-1}}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= -1 \cdot x ^{-1-1}= - x ^{-2}= \frac{-1}{x ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ f ^{\prime\prime} \left(x\right)= 2 x ^{-2-1}= 2 x ^{-3}= \frac{ 2}{x ^{3} }}\)

\(\displaystyle{ f ^{\prime\prime}^\prime \left(x\right)= 2 \cdot \left(-3 \right) x ^{-3-1}= -6 \cdot x ^{-4}= \frac{ -6}{x ^{4} }}\)
Przykład 10
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= x \cdot \sin x}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \left( x\right)^\prime \cdot \sin x + x \cdot \left( \sin x \right)^\prime= \sin x+ x \cdot \cos x}\)
Przykład 11
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= x ^{8} \cdot \ln x}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \left( x ^{8} \right)^\prime \cdot \ln x + x ^{8} \cdot \left( \ln x \right)^\prime= 8x ^{7} \cdot \ln x + x ^{8} \cdot \frac{1}{x}= 8x ^{7} \cdot \ln x + x ^{7}}\)
Przykład 12 (ważny )
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \sqrt{x}= x ^{ \frac{1}{2} }}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \frac{1}{2} x ^{ \frac{1}{2}-1 } = \frac{1}{2} \cdot x ^{ -\frac{1}{2} }= \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\)
Przykład 13 (ważny )
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \sqrt[3]{x} = x ^{ \frac{1}{3} }}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \frac{1}{3} x ^{ \frac{1}{3}-1 } = \frac{1}{3} \cdot x ^{ -\frac{2}{3} }= \frac{1}{3 \sqrt[3]{x ^{2} } }}\)
Przykład 14
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \frac{ x+1}{x}}\)

1 sposób:

\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \frac{ x+1}{x}= 1+ \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ f^\prime \left(x\right)= - \frac{1}{x ^{2} }}\)

2 sposób ( wzór na pochodną ilorazu ):
\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \frac{ \left(x+1\right)^\prime \cdot x - \left(x+1\right) \cdot x\prime}{x ^{2} }= \frac{ x - \left(x+1\right) }{x ^{2} } = - \frac{1}{x ^{2} }}\)
Przykład 15
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \left(x+1\right) ^{2}}\)

Sposób 1 ( wzór na pochodną funkcji złożonej):

\(\displaystyle{ f^\prime \left(x\right)= 2 \cdot \left(x+1\right) \cdot \left(x+1\right)^\prime= 2 \cdot \left(x+1\right) \cdot 1= 2 \cdot \left(x+1\right) =2x+2}\)

Sposób 2 ( wzór skróconego mnożenia):

\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \left(x+1\right) ^{2}=x ^{2}+2x+1}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \left(x ^{2}\right)^\prime+\left(2x\right)^\prime+\left(1 \right)^\prime= 2x +2+0=2x+2}\)
Przykład 16
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \left(x ^{2} +1\right) ^{2}}\)

( wzór na pochodną funkcji złożonej):

\(\displaystyle{ f^\prime \left(x\right)= 2 \cdot \left(x ^{2} +1\right) \cdot \left(x ^{2} +1\right)^\prime= 2 \cdot \left(x ^{2} +1\right) \cdot 2x = 4x \cdot \left(x ^{2} +1\right)}\)
Przykład 17
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \ln \left(x ^{2} +1\right)}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \frac{1}{ \left(x ^{2} +1\right) } \cdot \left(x ^{2} +1\right)^\prime =\frac{2x}{ \left(x ^{2} +1\right) }}\)
Przykład 18
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \sqrt{ 2x }}\)
\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \frac{1}{2 \cdot \sqrt{ 2x } } \cdot \left(2x\right)^\prime= \frac{2}{2 \cdot \sqrt{ 2x } }= \frac{1}{ \sqrt{ 2x } }}\)
Przykład 19 (bardzo ważny )
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= e^{g\left(x\right) }}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= e^{g\left(x\right) } \cdot g^\prime\left(x\right)}\)

1. \(\displaystyle{ f\left(x\right)= e^{ 2x }}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= e^{ 2x } \cdot \left(2x\right)^\prime=e^{ 2x } \cdot 2}\)

2. \(\displaystyle{ f\left(x\right)= e^{ x ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= e^{ x ^{2} } \cdot \left(x ^{2} \right)^\prime =e^{ x ^{2} } \cdot 2x}\)

3. \(\displaystyle{ f\left(x\right)= e^{ x ^{2}+x }}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= e^{ x ^{2} +x } \cdot \left(x ^{2}+x \right)^\prime =e^{ x ^{2}+x } \cdot \left(2x+1\right)}\)
Przykład 20
\(\displaystyle{ f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right) ^{2} }{2x}}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \frac{\left[\left(x+1\right) ^{2}]^\prime \cdot \left(2x\right) - \left(x+1\right) ^{2}\left(2x\right) \prime }{\left(2x\right) ^{2} }= \frac{ \left(2x+2\right) \cdot \left(2x\right) - \left(x+1\right) ^{2} \cdot 2 }{ 4x ^{2} }=\\ \\\\ = \frac{ 4 x ^{2} +4x - \left( 2x ^{2} + 4x +2 \right) }{ 4x ^{2} }=\frac{ 2 x ^{2} - 2 }{ 4x ^{2} }= \frac{ x ^{2} - 1 }{ 2 x ^{2} }}\)
Teraz kilka zadań z Krysickiego:
Przykład 21
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \frac{x}{2} + \frac{2}{x}}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \frac{1}{2} - \frac{2}{x ^{2} }}\)
Przykład 22
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= x ^{2} + \frac{1}{x ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= 2 x - \frac{2}{x ^{3} }}\)

Przykład 23
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= x \cdot \sqrt{4-x ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)=\sqrt{4-x ^{2} } + x \cdot \frac{ -2x}{2 \sqrt{4-x ^{2} }}=\sqrt{4-x ^{2} } - \frac{ x ^2 }{ \sqrt{4-x ^{2} }}}\)
Przykład 24
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= x \cdot \left(3-x \right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ f^\prime \left(x\right)= \left(3-x \right) ^{2} - x \cdot 2 \left(3-x \right)}\)

Przykład 25
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \sqrt{ \sin \left(x ^{2}\right) }}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \frac{ 2x \cdot \cos \left(x ^{2}\right)}{2 \sqrt{ \sin \left(x ^{2}\right) }}}\)
Przykład 26
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \sin x \cdot \cos 2x}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= \cos x \cdot \cos 2x- 2 \sin x \cdot \sin 2x}\)
Przykład 27
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \sin ^{2} x \cdot \cos x}\)

\(\displaystyle{ f^\prime\left(x\right)= 2\sin x \cdot \cos x \cdot \cos x - \sin ^{2} x \sin x}\)

Przykład 28
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= \sqrt{1-\cos x}}\)

\(\displaystyle{ f^\prime \left(x\right)= \frac{\sin x}{2 \sqrt{1-\cos x}}}\)
Przykład 29
\(\displaystyle{ f\left(x\right)= x-2 \arctan x}\)

\(\displaystyle{ f\left(x\right)= 1-2 \frac{1}{1+x ^{2} }= \frac{1+ x ^{2} }{1+ x ^{2}} - \frac{2}{1+x ^{2} }= \frac{-1+x ^{2} }{1+x ^{2} }}\)

cdn
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW


Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie
to też proszę napisać do mnie PW. Jak wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )
Ostatnio zmieniony 15 lis 2010, o 23:14 przez M Ciesielski, łącznie zmieniany 1 raz.

Zablokowany