Matematyka.pl

Witam!

Rozważmy funkcję:
\(\displaystyle{ f(x) = \left(1+\frac{a}{x}\right)^x}\)

dziedziną niech będzie \(\displaystyle{ x > 0}\)

można łatwo sprawdzić, że
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \left(1+\frac{a}{x}\right)^x = 1}\)

oraz
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left(1+\frac{a}{x}\right)^x = e^a}\)

zatem dla x > 0 funkcja jest rosnąca. Powinna więc mieć dodatnią pochodną.

Tymczasem kiedy liczę pochodną, jako pochodną złożoną korzystając z wzorów:
\(\displaystyle{ \left( \alpha ^x\right)' = \alpha^x \ln{ \alpha}}\)
oraz pochodna wewnętrzna:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{a}{x} \right)' = -\frac{a}{x^2}}\)

wychodzi mi na to, że pochodna naszej funkcji wynosi:
\(\displaystyle{ f'(x) = \left[\left(1+\frac{a}{x}\right)^x\right]' = -\frac{a}{x^2}\ \left(1+\frac{a}{x}\right)^{x} \ \ln{\left(1+\frac{a}{x}\right)}}\)

...czyli ujemna dla dodatnich x!!!

gdzie jest błąd? Bo nie potrafię go dostrzec

Moim zdaniem błędnie obliczyłeś pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\). Wzoru \(\displaystyle{ (\alpha^x)'=\alpha^x\cdot\ln\alpha}\) nie powinieneś tu zastosować, gdyż obowiązuje on tylko w przypadku, gdy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest wyrażeniem stałym.
Przed obliczeniem pochodnej przekształć wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\), wykorzystując tożsamość \(\displaystyle{ \alpha^{\beta}=e^{\beta\ln\alpha}}\).

W Twoim pierwszym rozumowaniu funkcja \(\displaystyle{ f}\) w ogóle nie musi być monotoniczna - jej zachowanie zależy po pierwsze od parametru \(\displaystyle{ a}\) (dokładniej - od porównania wartości \(\displaystyle{ e^a}\) i 1), a po drugie same granice na krańcach określoności funkcji nie decydują o jej monotoniczności.

lukasz1804 pisze:W Twoim pierwszym rozumowaniu funkcja \(\displaystyle{ f}\) w ogóle nie musi być monotoniczna - jej zachowanie zależy po pierwsze od parametru \(\displaystyle{ a}\) (dokładniej - od porównania wartości \(\displaystyle{ e^a}\) i 1), a po drugie same granice na krańcach określoności funkcji nie decydują o jej monotoniczności.

Zapomniałem dodać, że przyjmujemy \(\displaystyle{ a > 0}\). Wtedy istotnie funkcja nie musi być monotoniczna, ale przynajmniej w pewnym obszarze pochodna musi być dodatnia (z ciągłości w dziedzinie i wartości granicznych). Natomiast wyszła mi wszędzie ujemna.

Spróbuję przeliczyć to ponownie zaproponowaną tu metodą, dzięki za odpowiedź.

/edit: ok, wyszło jak trzeba jeszcze raz dzięki, wakacyjna przerwa źle wpływa na myślenie matematyczne

pozdrawiam,