Pochodna funkcji
: 21 lip 2010, o 14:52
Witam.
Mam taką funkcję (zadanie z książki W.Krysicki/L.Włodarski):
\(\displaystyle{ z= \sqrt{ \frac{ a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} }}\)
Zadanie to wyznaczyć pochodną po x.
Liczę to tak:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{f(x)}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ f(x)^{\prime} = \frac{(a^{2} - x^{2})^{\prime}(a^{2} + x^{2}) - (a^{2} - x^{2})(a^{2} + x^{2})^{\prime}}{(a^{2} + x^{2})^{2}} = \frac{-4a^{2}x}{(a^{2} + x^{2})^{2}}}\)
natomiast
\(\displaystyle{ z^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f(x)^{\prime}}\)
Podstawiając w \(\displaystyle{ z^{\prime}}\) wyznaczone \(\displaystyle{ f(x)^{\prime}}\) i \(\displaystyle{ f(x)}\) otrzymuję końcowy wynik:
\(\displaystyle{ z^{\prime} = \frac{-2a^{2}x}{(a^{2}+x^{2}) \sqrt{a^{4}-x^{4}}}}\)
Sprawdzałem to kilka razy i nie widzę błędu. W ksiązce podany jest taki wynik:
\(\displaystyle{ z^{\prime} = \frac{2a^{2}x}{(a^{2}+x^{2}) \sqrt{a^{4}-x^{4}}}}\)
Ja mam źle czy w książce jest błąd?
Mam taką funkcję (zadanie z książki W.Krysicki/L.Włodarski):
\(\displaystyle{ z= \sqrt{ \frac{ a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} }}\)
Zadanie to wyznaczyć pochodną po x.
Liczę to tak:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{f(x)}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ f(x)^{\prime} = \frac{(a^{2} - x^{2})^{\prime}(a^{2} + x^{2}) - (a^{2} - x^{2})(a^{2} + x^{2})^{\prime}}{(a^{2} + x^{2})^{2}} = \frac{-4a^{2}x}{(a^{2} + x^{2})^{2}}}\)
natomiast
\(\displaystyle{ z^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f(x)^{\prime}}\)
Podstawiając w \(\displaystyle{ z^{\prime}}\) wyznaczone \(\displaystyle{ f(x)^{\prime}}\) i \(\displaystyle{ f(x)}\) otrzymuję końcowy wynik:
\(\displaystyle{ z^{\prime} = \frac{-2a^{2}x}{(a^{2}+x^{2}) \sqrt{a^{4}-x^{4}}}}\)
Sprawdzałem to kilka razy i nie widzę błędu. W ksiązce podany jest taki wynik:
\(\displaystyle{ z^{\prime} = \frac{2a^{2}x}{(a^{2}+x^{2}) \sqrt{a^{4}-x^{4}}}}\)
Ja mam źle czy w książce jest błąd?