Matematyka.pl

siemka, mam ciężkie zadanie z ekstremów funkcji wielu zmiennych a mianowicie \(\displaystyle{ f(x,y)= x^{3} + y ^{2} -2xy}\) może ktoś pomoże rozwiązać zadanie i objaśni jak sie to robi i skąd bierze sie punkty stacjonarne

Zacznij od policzenia pochodnych cząstkowych. To umiesz zrobić?

a więc mamy:

\(\displaystyle{ f(x,y)= x^{3} + y ^{2} -2xy\\D: x \in \Re,y \in \Re}\)

obliczamy kolejno pochodną po x oraz y

\(\displaystyle{ f\prime_{x}(x,y)=3 x^{2}-2y\\ f\prime_{y}(x,y)=2y-2x}\)

Obie pochodne przyrównujemy do 0:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 x^{2}-2y=0 \\ 2y-2x=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3 x^{2}=2y \\3 x^{2}-2x=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3 x^{2}=2y \\x(3x-2)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases} x= \frac{2}{3} \\y= \frac{2}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ P_{1} =(0,0) P_{2}= (\frac{2}{3} , \frac{2}{3} )}\) punkty podejzane o ekstrema (punkty stacjonarne).

Obliczamy wszystkie pochodne cząstkowe rzędu drugiego:
\(\displaystyle{ f\prime\priem_{xx}(x,y)=6x\\f\prime\priem_{xy}(x,y)=f\prime\priem_{yx}(x,y)=-2\\f\prime\priem_{yy}(x,y)=2}\)

Wstawiamy te pochodne w wyznacznik:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 6x&-2\\-2&2\\\end{vmatrix}=12x-4}\)

Jeżeli P jest punktem podejrzanym o ekstremum to:
a) Obliczamy W(P)

Jeżeli \(\displaystyle{ \begin{cases} W(P)>0\hbox{ to w punkcie P jest ekstremum} \\ W(P)<0\hbox{ nie ma ekstremum w tym punkcie}\end{cases}}\)
b) W przypadku gdy W(P)>0 obliczamy:\(\displaystyle{ f\prime\priem_{xx}(P)}\)

Jezeli \(\displaystyle{ \begin{cases} f\prime\priem_{xx}(P)>0\hbox{ to w punkcie P jest min} \\f\prime\priem_{xx}(P)<0\hbox{ to w punkcie P jest max}\end{cases}}\)

badamy \(\displaystyle{ P_{1}}\)
\(\displaystyle{ W(P_{1})=-4<0\hbox{ w tym punkcie nie ma ekstremum}}\)

badamy \(\displaystyle{ P_{2}}\)
\(\displaystyle{ W(P_{2})=4>0\hbox{ w tym punkcie jest ekstremum}\\f\prime\priem_{xx}(P_{2})=4>0\hbox{ w tym punkcie jest minimum i wynosci 4}}\)

i wszystko prościej chyba już się nie da