Pochodna funkcji parzystej - dow. że nieparzysta

[patry93]

Witam.

Wykazać, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest różniczkowalna i parzysta, to jej pochodna jest funkcją nieparzystą.

Czy poprawnie jest tak:
\(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \Leftrightarrow -f'(-x) = \lim_{h \to 0} \frac{-f(-x+h)+f(-x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-f(-x+h)+f(x)}{h}}\)
Jeśli liczniki będą równe, to OK. Ale skoro \(\displaystyle{ h \to 0}\), to można zapisać \(\displaystyle{ -f(-x+h)+f(x) = -f(-x)+f(x) = -f(x)+f(x) = -f(x)+f(x+h)}\)
Co dowodzi tezy.
?

[Qń]

Nie, nie jest poprawnie - wniosek jest słuszny, ale rozumowanie nie (takie manipulowanie zmienną \(\displaystyle{ h}\) jest niedozwolone).

Można dokończyć to Twoim sposobem, ale prościej jest zróżniczkować stronami równość:
\(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\)
i otrzymać:
\(\displaystyle{ f'(x)= -f'(-x)}\)

Q.

[patry93]

Hm, w takim razie, po zróżniczkowaniu stronami \(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ f(-x+h)-f(x)}{h}}\)
Mam nadzieję, że można teraz dodać stronami \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{h}}\), co da:
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(-x+h)}{h}}\)
Ale ponieważ:
\(\displaystyle{ -f'(-x) = \lim_{h \to 0} \frac{-f(-x+h)+f(x)}{h}}\)
więc też:
\(\displaystyle{ -f'(-x) = \lim_{h \to 0} \frac{-f(x+h)+f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{-h}}\)
A to jest to samo, co \(\displaystyle{ f'(x)}\), bo gdy \(\displaystyle{ h \to 0}\), to \(\displaystyle{ -h \to 0}\).
Dobrze?

[Qń]

Zupełnie źle, a do tego zupełnie bez związku z tym o czym pisałem.

Odnośnie mojej propozycji:
\(\displaystyle{ (f(x))' = \left( f(-x)\right) ' = f'(-x) \cdot ( -x)' = -f'(-x)}\)
I koniec. Żadnej definicji pochodnej nie trzeba.

Odnośnie Twojego pomysłu - można go dokończyć tak:
\(\displaystyle{ -f'(-x) = \lim_{h \to 0} \frac{-f(-x+h)+f(-x)}{h}= \dots}\)
Teraz wykorzystujemy parzystość funkcji \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ \dots = \lim_{h \to 0} \frac{-f(x-h)+f(x)}{h}=
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+(-h))-f(x)}{-h}=f'(x)}\)

Ale tak jak pisałem - używanie definicji pochodnej jest tu niepotrzebne, poprzednie rozwiązanie jest szybsze i prostsze.

Q.

[patry93]

Zupełnie źle

Tzn. wszystko, czy od pewnego miejsca?

bez związku z tym o czym pisałem

Nie rozumiem. Myślałem, że zróżniczkowanie stronami polega właśnie na zapisaniu def. pochodnej dla \(\displaystyle{ f(x) \ i \ f(-x)}\), a następnie na ich przyrównaniu.

Co do Twojego rozwiązania - nie skojarzyłem tego jako pochodnej funkcji złożonej - cóż, zdarza się.

[Qń]

Zupełnie źle

Tzn. wszystko, czy od pewnego miejsca?

Od tego:

Mam nadzieję, że można teraz dodać stronami \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{h}}\)

To co zrobiłeś to dodanie do obu stron wielkości \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{f(x)}{h}}\). Tyle tylko, że ta wielkość jest nieokreślona (zależnie od tego z której strony dążymy do zera jest ona równa \(\displaystyle{ \pm \infty}\)).

Nie rozumiem. Myślałem, że zróżniczkowanie stronami polega właśnie na zapisaniu def. pochodnej

Niekoniecznie, zróżniczkowanie polega po prostu na policzeniu pochodnej. Można owszem zawsze liczyć tę pochodną z definicji, ale po co, skoro mamy sporo ułatwiających życie twierdzeń? Czy licząc pochodną \(\displaystyle{ x^2e^x}\) też zapiszesz definicję pochodnej, czy może jednak użyjesz twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji, a potem wzorów na pochodne funkcji podstawowych?

Q.

[patry93]

Mam nadzieję, że rozumiem
Aby się upewnić, napiszę jeszcze jedno zadanie, ciut podobne:
Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest różniczkowalna i okresowa, to jej pochodna jest również funkcją okresową.

Zatem zapisuję: \(\displaystyle{ f(x)=f(x+T)}\), co po zróżniczkowaniu stronami daje:
\(\displaystyle{ f'(x)=(f(x+T))'=f'(x+T) \cdot (x+T)' = f'(x+T)}\)
Poprawnie?

[Qń]

Zgadza się.

Q.

[Majeskas]

Zupełnie źle, a do tego zupełnie bez związku z tym o czym pisałem.

Odnośnie mojej propozycji:
\(\displaystyle{ (f(x))' = \left( f(-x)\right) ' = f'(-x) \cdot ( -x)' = -f'(-x)}\)
I koniec. Żadnej definicji pochodnej nie trzeba.


Q.

Mam wątpliwości odnośnie do takiego rozwiązania zadania. Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją parzystą i różniczkowalną w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\). Chcemy wykazać, że wówczas \(\displaystyle{ f'(-x_0)}\) istnieje i jest równa \(\displaystyle{ -f'(x_0)}\).

Weźmy \(\displaystyle{ g(x)=-x}\). Chcemy teraz użyć wzoru na pochodną złożenia do wyznaczenia pochodnej \(\displaystyle{ f(g(x_0))}\). Żeby to zrobić, musimy mieć różniczkowalność \(\displaystyle{ g}\) w \(\displaystyle{ x_0}\) (oczywiście mamy) i różniczkowalność \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ g(x_0)}\), której a priori nie mamy. Dlatego moim zdaniem — gdyby zadanie brzmiało dokładnie tak, jak je postawiłem — należy wyznaczać pochodną \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ -x_0}\) z definicji.
Proszę o weryfikację.

[a4karo]

Nie. W zadaniu masz założenie o różniczkowalności wszędzie.

Gdyby zadanie brzmiało tak:

Jeżeli `f` jest parzysta i różniczkowalna w `x`, to jest różniczkowalna w `-x` i \(f'(-x)=-f(x)\) to uwaga byłaby słuszna. Ale wtedy Qń by nie napisał tego zdania

[Dasio11]

Dlatego moim zdaniem — gdyby zadanie brzmiało dokładnie tak, jak je postawiłem — należy wyznaczać pochodną \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ -x_0}\) z definicji.

Niekoniecznie.