Pochodne cząstkowe rzędu drugiego

[ma55olit]

Czy ktoś z Was umie obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu takiej funkcji?

\(\displaystyle{ f(x,y)=sinxy+xe^{y}}\)

Wiem mniej więcej, jak się oblicza pochodne cząstkowe, ale tutaj nie wiem jak się za to zabrać, a jak już myślę, że dobrze robię, to pochodne mieszane nie wychodzą takie same.

Pozdrawiam

[Arch_Stanton]

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}f }{ \mbox{d}x }= y \cdot \cos xy + e^y}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}f }{ \mbox{d}y }= x \cdot \cos xy + xe^y}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d^2}f}{ \mbox{d}x^2 }= -y^2 \cdot \sin xy}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d^2}f }{ \mbox{d}y^2 }= -x^2 \sin xy + xe^y}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d^2}f }{ \mbox{d}x \mbox{d}y }= \cos xy -xy sin xy + e^y}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d^2}f }{ \mbox{d}y \mbox{d}x } = \cos xy - xy \sin xy +e^y}\)

[ma55olit]

Świetnie, dzięki. właśnie chodziło mi o takie rozwiązanie krok po kroku. Tylko jedna niejasność, skąd choćby w pierwszej linijce Twojej odpowiedzi wziął się \(\displaystyle{ y}\) przed \(\displaystyle{ cosxy}\)? Albo w drugiej linijce \(\displaystyle{ x}\) przed \(\displaystyle{ cosxy}\)?

[likas]

z pochodnej funkcji wewnętrznej (xy)

[ma55olit]

Można prosić jaśniej? Jakbym się za to nie zabierał teraz, znając już wyniki pochodnych cząstkowych, nie wiem skąd one się biorą. A już zwłaszcza mieszane.

[likas]

ogólnie w pierwszej pochodnej masz sinxy, czyli wygodniej napisać sin(xy), pochodna sinx to cosx a tutaj nie masz samego x, tylko xy, znaczy to, że jest to funkcja złożona, czyli dodatkowo musisz pomnożyć pochodną sin(xy) przez (xy)'=x'y+xy'

[kolokolo]

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d^2}f}{ \mbox{d}x^2 }= -y^2 \cdot \sin xy}\) Skad to sie wzielo? Mam maly problem z pochodnymi czastkowymi, jesli chodzi o pochodne zmiennych x i y to rozumiem, xy takze, ale te od x^2 i y^2 nie wiem skad sie wziely . Moglby ktos mi wytlumaczyc?