Obliczyć ekstrema funkcji o dwóch zmiennych

mytek1 · Post autor: **mytek1** » 5 lut 2010, o 16:58

Potrzebuje pomocy z następującym zadaniem:
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x+y+2sinx-2cosy}\) w zbiorze (prostokątnym) \(\displaystyle{ {{(x,y): x \in (0,pi), y \in (pi, \frac{3}{2} pi)}}}\)
Na początek trzeba wyznaczyć pierwszą pochodną po "x" i pierwsza pochodną po "y", ale funkcję trygonometryczną ze stałej traktujemy jako stałą??

rsasquatch · Post autor: **rsasquatch** » 6 lut 2010, o 00:38

Najpierw pochodne
\(\displaystyle{ f _{x} =1+2Cos[x]}\)
\(\displaystyle{ f _{y} =1+2Sin[y]}\)
\(\displaystyle{ f _{xx}=-2Cos[x]}\)
\(\displaystyle{ f _{xy}=0}\)
\(\displaystyle{ f _{yx}=0}\)
\(\displaystyle{ f _{yy}=-2Sin[y]}\)
rozwiązujemy układ w naszym przedziale \(\displaystyle{ \begin{cases} 0=1+2Cos[x] \\0=1+2Sin[y] \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_0= \frac{2}{3}\pi \\ y_0= \frac{7}{6}\pi \end{cases}}\)
Teraz sprawdzamy czy istnieje w tym punkcie ekstremum lokalne
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}f _{xx}(x_0,y_0)&f _{xy}(x_0,y_0)\\f _{yx}(x_0,y_0)&f _{yy}(x_0,y_0)\end{array}\right|=1>0}\) Wobec tego ekstremum w tym punkcie istnieje
oraz \(\displaystyle{ f _{xx}(x_0,y_0)=-1<0}\) to jest to maksimum lokalne i wynosi ono \(\displaystyle{ f(x_0,y_0)= \frac{11}{6} \pi+2 \sqrt{3}}\)

mytek1 · Post autor: **mytek1** » 6 lut 2010, o 11:41

Nie powinno czasem być tak?
\(\displaystyle{ f _{xx}=-2Sin[x]}\)
\(\displaystyle{ f _{yy}=2Cos[y]}\)

rsasquatch · Post autor: **rsasquatch** » 6 lut 2010, o 12:04

Tak powinno być, pomyliło mi się, ale na szczęście wyniku to nie zmienia

mytek1 · Post autor: **mytek1** » 8 lut 2010, o 18:55

Musze wyznaczyć ekstrema jeszcze jednej funkcji i potrzebuje rady.
\(\displaystyle{ f(x,y)=x ^{2} + \left(\ln y \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ f _{x} =2x}\)
\(\displaystyle{ f _{y}= \frac{2\ln y}{y}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x=0\\2\ln y+ \frac{1}{y}=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0\\y=?\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f _{xx} =2}\)
\(\displaystyle{ f _{xy}=0}\)
\(\displaystyle{ f _{yx}=0}\)
\(\displaystyle{ f _{yy}= \frac{\frac{2}{y}-2\ln y}{y ^{2} }}\)

Tak to ma być, a jeśli tak, to jak \(\displaystyle{ y}\) obliczyć?

rsasquatch · Post autor: **rsasquatch** » 8 lut 2010, o 19:59

powinno tam być
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x=0 \\ \frac{2lny}{y=0} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}}\)
i \(\displaystyle{ f_{yy}= \frac{2 \frac{1}{y} \cdot y-2lny }{y^2}}\)

mytek1 · Post autor: **mytek1** » 8 lut 2010, o 20:17

Dzięki, ja się przez przypadek pomyliłem i przez to nie wiedziałem co i jak. Pozdrawiam