Hej pomoże ktoś wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstremum lokalne ?
\(\displaystyle{ f(x)=2x ^{3}-15x ^{2} +36x+1}\)
przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne
-
Bieniol
- Użytkownik
- Posty: 480
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 15:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 138 razy
przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne
\(\displaystyle{ f(x)=2x ^{3}-15x ^{2} +36x+1}\)
\(\displaystyle{ f^\prime (x) = 6x^2 - 30x + 36}\)
Przyrównujemy do zera:
\(\displaystyle{ f^\prime (x) = 0 \Leftrightarrow 6x^2 - 30x + 36 = 0}\)
\(\displaystyle{ x^2 -5x + 6 = 0}\)
\(\displaystyle{ (x-3)(x-2) = 0}\)
\(\displaystyle{ x=3 \vee x=2}\) - punkty podejrzane o istnienie w nich ekstremów.
\(\displaystyle{ f^\prime (x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left(- \infty ;2 \right) \cup \left(3; \infty \right)}\) - wtedy funkcja rośnie
\(\displaystyle{ f^\prime (x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left(2;3 \right)}\) - wtedy funkcja maleje.
I stwierdzamy, że w \(\displaystyle{ x=2}\) mamy maksimum lokalne (bo pochodna zmienia w nim znak z plusa na minus), zaś w punkcie \(\displaystyle{ x=3}\) mamy minimum.
\(\displaystyle{ f^\prime (x) = 6x^2 - 30x + 36}\)
Przyrównujemy do zera:
\(\displaystyle{ f^\prime (x) = 0 \Leftrightarrow 6x^2 - 30x + 36 = 0}\)
\(\displaystyle{ x^2 -5x + 6 = 0}\)
\(\displaystyle{ (x-3)(x-2) = 0}\)
\(\displaystyle{ x=3 \vee x=2}\) - punkty podejrzane o istnienie w nich ekstremów.
\(\displaystyle{ f^\prime (x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left(- \infty ;2 \right) \cup \left(3; \infty \right)}\) - wtedy funkcja rośnie
\(\displaystyle{ f^\prime (x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left(2;3 \right)}\) - wtedy funkcja maleje.
I stwierdzamy, że w \(\displaystyle{ x=2}\) mamy maksimum lokalne (bo pochodna zmienia w nim znak z plusa na minus), zaś w punkcie \(\displaystyle{ x=3}\) mamy minimum.
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne
Liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ f'(x)=6x^{2}-30x+36}\)
WKE:
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow x=2 \vee x=3}\)
WWE:
\(\displaystyle{ f'(x)>0 \Leftrightarrow x \in (- \infty ;2) \cup (3;+ \infty )\\
f'(x)<0 \Leftrightarrow x \in (2;3)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ f_{min}=f(3)\\
f_{max}=f(2)}\)
Funkcja rośnie na przedziałach: \(\displaystyle{ (- \infty ;2)\ i\ (3;+ \infty )}\) i maleje gdy \(\displaystyle{ x \in (2;3)}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=6x^{2}-30x+36}\)
WKE:
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow x=2 \vee x=3}\)
WWE:
\(\displaystyle{ f'(x)>0 \Leftrightarrow x \in (- \infty ;2) \cup (3;+ \infty )\\
f'(x)<0 \Leftrightarrow x \in (2;3)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ f_{min}=f(3)\\
f_{max}=f(2)}\)
Funkcja rośnie na przedziałach: \(\displaystyle{ (- \infty ;2)\ i\ (3;+ \infty )}\) i maleje gdy \(\displaystyle{ x \in (2;3)}\)