Witam
Niech \(\displaystyle{ f:[1;+\infty] \rightarrow R}\) będzie funkcją różniczkowalną taką, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f'(x)=a}\) oraz żniech \(\displaystyle{ a_{n}=f(n+1)-f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\). Wykaż, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to + \infty } a_{n}=a}\)
Wykaż zależność z Rolle LAgrangea trudne
-
K.Inc.
- Użytkownik
- Posty: 191
- Rejestracja: 3 mar 2007, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PT
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 13 razy
Wykaż zależność z Rolle LAgrangea trudne
Liczymy granicę ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } f(n+1)-f(n)}\)
z twierdzenia Lagrange'a mamy \(\displaystyle{ \exists c_{n}\in(n,n+1): f'(c_{n})=\frac{f(n+1)-f(n)}{n+1-n}}\)
wobec tego równoważnie:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } f(n+1)-f(n)=\lim_{ n\to \infty }((n+1-n) \cdot f'(c_{n}))=\lim_{ n\to \infty }f'(c_{n})}\)
ale z definicji Heinego mamy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }f'(c_{n})=\lim_{ x\to \infty }f'(x)}\)
ale z założeń \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }f'(x)=a}\), czyli otrzymujemy tezę.
\(\displaystyle{ lim_{ n\to \infty }a_{n}=a}\), co kończy dowód.
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } f(n+1)-f(n)}\)
z twierdzenia Lagrange'a mamy \(\displaystyle{ \exists c_{n}\in(n,n+1): f'(c_{n})=\frac{f(n+1)-f(n)}{n+1-n}}\)
wobec tego równoważnie:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } f(n+1)-f(n)=\lim_{ n\to \infty }((n+1-n) \cdot f'(c_{n}))=\lim_{ n\to \infty }f'(c_{n})}\)
ale z definicji Heinego mamy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }f'(c_{n})=\lim_{ x\to \infty }f'(x)}\)
ale z założeń \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }f'(x)=a}\), czyli otrzymujemy tezę.
\(\displaystyle{ lim_{ n\to \infty }a_{n}=a}\), co kończy dowód.