zadanie optymalizacyjne - trapez.

siNister · Post autor: **siNister** » 18 kwie 2006, o 08:00

Tresc zadania:
Na kole o promieniu \(\displaystyle{ 4\sqrt[2]{3}}\) opisano trapez rownoramienny. Jaka miare musi miec kat ostry trapezu, aby jego pole bylo najmniejsze.

Rozwiazanie:
a - dlugosc podstawy dolnej
b- dlugosc podstawy gornej
c - dlugosc ramienia podstawy
x - kat pomiedzy podstawa dolna o ramieniem podstawy

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}(a+b)*h}\)

wiedzac, ze trapez jest opisany na okregu, czyli a+b=2c, stad P=c*h
z kolei c mozna obliczyc z sinx, gdzie sinx=\(\displaystyle{ \frac{h}{c}}\), z tego c=\(\displaystyle{ \frac{h}{sinx}}\)
podstawiajac do pola trapezu mamy, ze P=\(\displaystyle{ \frac{h^2}{sinx}}\)
pochodna z tego wyrazenia wynosi P`=\(\displaystyle{ \frac{-12cosx}{sin^2x}}\), z kolei z tego obliczymy, ze minimum pochodna osiaga dla x=90stopni

czy gdzies mam blad w toku rozumowania prosze o pomoc! oraz mam jeszcze jedno pytanie! Tresc zadania: Na kole o promieniu 4 cm opisano trojkat prostokatny o najmniejszym polu. Znajdz dlugosci bokow tego trojkata.
PS: Prosze o rozwiazanie, nie wystarczy mi tylko odpowiedz, wiem, ze powinien byc to trojkat rownoramienny, ale dlaczego, jak mozna to udowodnic rachunkowo

pozdrawiam

bisz · Post autor: **bisz** » 18 kwie 2006, o 11:23

intuicyjnie sadze ze moze byc taki wynik wlasnie .

siNister · Post autor: **siNister** » 18 kwie 2006, o 22:00

interesuje mnie to czy by zostalo uznane, czy ktos ma moze rozwiazanie do drugiego zadania ? bardzo mi na nim zalezy

[ Dodano: Sro Kwi 19, 2006 4:27 pm ]
bardzo prosze o sensowna pomoc

olazola · Post autor: **olazola** » 24 kwie 2006, o 22:57

Jeśli chodzi o drugie zadanko to można zrobić np. tak

rysunek:

a,b - przyprosokątne
Z twierdzenie Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=\(a-4+b-4\)^2}\)
Z tego ostatecznie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ ab-8a-8b+32=0}\)
Z powyższego równania można wyznaczyć a:
\(\displaystyle{ a=\frac{32-8b}{8-b}}\)
Wstawiając do wzoru na pole trójkąta P=(ab)/2 otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P=\frac{16b-8b^2}{8-b}}\)
Następnie pochodna:
\(\displaystyle{ P^'=\frac{4b^2-64b+128}{\(8-b\)^2}}\)
Pochodna jest równa zero gdy:
\(\displaystyle{ 4b^2-64b+128=0}\)
Z tego otrzymujemy dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ b_{1}=8-4\sqrt{2},\ b_{2}=8+4\sqrt{2}}\)
wybieramy to drugie bo tam funkcja ma minimum, po podstawieniu do a otrzymujemy tę samą wartość.