Ekstremum lokalne (o ile jest)

Shedao Shai · Post autor: **Shedao Shai** » 13 wrz 2009, o 13:36

Wystąpił problem z następującym zadaniem:

znajdź (o ile istnieje) ekstremum lokalne funkcji:

\(\displaystyle{ f (x,y,z,t) = 2x^{2} + 3 y^{2} +2z ^{2} +t ^{2} -2xy+3xz-2yt-x+2y+z}\)

zrobiłem pochodne po dx, dy, dz i dt, wyszły mi następujące równania

\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = 4x-2y+3z-1}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dy} = 6y-2x-2t+2}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dz} = 4z+3x+1}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dt} = 2t-2y}\)

...no i jestem przyblokowany. Przyrównuję do 0, i dalej nie umiem ruszyć - z której strony ugryźć te równania?

andrzej_kk · Post autor: **andrzej_kk** » 13 wrz 2009, o 13:45

z 4 równania: \(\displaystyle{ t=y}\)

podstawiasz do 2 równania i masz: \(\displaystyle{ 4y-2x+2=0}\)

itd., gdyby równania były troche bardziej skomplikowane (ale dalej liniowe)- np. więcej zmiennych, albo wszystkie 4 w każdym równaniu, to można pokombinować metodą Gaussa:

Shedao Shai · Post autor: **Shedao Shai** » 13 wrz 2009, o 14:00

No właśnie Gaussem nie widzialem w tym zbytniego sensu, bo mając po prawej stronie same zera, wyszłoby mi po przeliczeniu macierzy że x,y,z i t = 0...

andrzej_kk · Post autor: **andrzej_kk** » 13 wrz 2009, o 14:58

Bo każy układ jednorodny (zera po prawej stronie) ma takie rozwiązanie , inne też mogą być - wtedy, kiedy rząd macierzy głównej jest mniejszy od liczby niewiadomych.

Ogólnie, to tutaj gaussem nie ma sensu sie bawić, bo więcej roboty jest niż przy podstawieniach.

Edit: Ale to nie jest układ jednorodny (wystarczy poprzenosić stałe na prawą stronę)

Shedao Shai · Post autor: **Shedao Shai** » 13 wrz 2009, o 15:15

Zgadzam się. Niestety wciąż mam problem z rozwiązaniem owych równań: bawię się tym od godziny, i za każdym razem wychodzi mi coś innego :/ ktoś zna jakiś sposób rozgryzienia tego?

andrzej_kk · Post autor: **andrzej_kk** » 13 wrz 2009, o 15:24

Ok, to:

z równania 4:
\(\displaystyle{ t=y}\)

podstawiamy do równania 2 i:
\(\displaystyle{ x=2y+1}\)

teraz z równania 3:
\(\displaystyle{ 3x=-4z-1}\)
\(\displaystyle{ x= -\frac{4}{3}z- \frac{1}{3}}\)

i mamy:
\(\displaystyle{ 2y+1=-\frac{4}{3}z- \frac{1}{3}}\)
Uzależniamy z od y i podstawiamy co trzeba do równania 1. \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) mamy y i t (bo są równe)

Wyniki:

Ukryta treść:

Shedao Shai · Post autor: **Shedao Shai** » 13 wrz 2009, o 16:16

Wciąż próbuję i mi nie wychodzi y. Z równania które podałeś: \(\displaystyle{ 2y+1=-\frac{4}{3}z- \frac{1}{3}}\) wychodzi mi, że \(\displaystyle{ z=-\frac{6}{4}y- \frac{1}{2}}\). Podstawiam otrzymane wzory na z i y do pierwszego równania, i mamy: \(\displaystyle{ 8y-4-2y-\frac{18}{4}y-\frac{6}{4}-1=0}\).
Obliczając zaś to, wychodzi mi że \(\displaystyle{ y=\frac{13}{3}}\)

...no i kicha. Gdzie robię błąd?

andrzej_kk · Post autor: **andrzej_kk** » 13 wrz 2009, o 16:25

tutaj:

Shedao Shai pisze:\(\displaystyle{ z=-\frac{6}{4}y- \frac{1}{2}}\).

\(\displaystyle{ z=- \frac{3}{2}y-1}\)

Shedao Shai · Post autor: **Shedao Shai** » 13 wrz 2009, o 16:36

Aaa fakt, głupi błąd. Czyli:

\(\displaystyle{ 8y-4-2y-\frac{9}{2}y-3-1=0}\).

z tego znowu wychodzi, że \(\displaystyle{ \frac{7}{4}y}\) równa się 8. Wciąż nie dochodzę do 0 :/

andrzej_kk · Post autor: **andrzej_kk** » 13 wrz 2009, o 17:05

(...)Czyli:
\(\displaystyle{ 8y-4-2y-\frac{9}{2}y-3-1=0}\).

Nie:
\(\displaystyle{ 4(2y+1)=8y+4}\)

Shedao Shai · Post autor: **Shedao Shai** » 13 wrz 2009, o 17:19

skąd te 8y+4?

\(\displaystyle{ 4(2y+1)-2y+3(-\frac{3}{2}y-1)-1=0}\) - to wychodzi po podstawieniu x i z do pierwszego wzoru-- 13 wrz 2009, o 21:30 --pytanie wciąż aktualne

andrzej_kk · Post autor: **andrzej_kk** » 13 wrz 2009, o 22:18

No zrobiłeś byka w mnożeniu, dlatego Ci nie wychodzi

Shedao Shai · Post autor: **Shedao Shai** » 13 wrz 2009, o 22:19

No właśnie wciąż nie widzę gdzie

andrzej_kk · Post autor: **andrzej_kk** » 13 wrz 2009, o 22:30

Przecież pokazałem:

andrzej_kk pisze:
(...)Czyli:
\(\displaystyle{ 8y-4-2y-\frac{9}{2}y-3-1=0}\).
Nie:
\(\displaystyle{ 4(2y+1)=8y+4}\)

Shedao Shai · Post autor: **Shedao Shai** » 13 wrz 2009, o 22:34

No tak, ale nie rozumiem skąd tam to 8y+4. Wzór to: \(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = 4x-2y+3z-1}\), pod x podstawiam 2y+1, pod z \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}y-1}\)... i skąd tam te 8y+4?