Matematyka.pl

Znajdź \(\displaystyle{ f'(0), f'(1), f'(2)}\) jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=x(x-1)^{2} (x-2)^{3}}\)
pewnie źle mi wyszlo

liczylem ze wzoru
\(\displaystyle{ f'(x _{0})= \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\)
czyli

\(\displaystyle{ f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{x(x-1)^{2} (x-2)^{3}}{x}=\lim_{x \to 0} (x^2-2x+1)(x^3-6x^2+12x-8)=\lim_{x \to 0} (x^5-8x^4+25x^3-38x^2+28x-8)}\)
to jest w dobrą strone w ogóle ?
bo tu podzielic licznik i mianownik przez X mozemy z zastrzeżeniem ze \(\displaystyle{ x 0}\), ale wlasnie dla x=0 to liczymy więc ta pochodna nie istnieje ?
czy cos pokręciłem ?

Tu raczej trzeba zastosować wzór na pochodną iloczynu funkcji...
\(\displaystyle{ y=x}\)
\(\displaystyle{ g(x)=(x-1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ h(x)=(x-2)^{3}}\)

\(\displaystyle{ f'(x) = y' g(x) h(x) + y g'(x) h(x) + y g(x) h'(x)}\)

a mozesz to na przykładzie wlasnie dla f'(0) zrobic ?
bo nie czuje tego za bardzo.

Pochodne zacząłem kilka dni temu, także nie jestem w tej dziedzinie jakimś ekspertem... jednak myślę, że zapis f'(0) oznacza wartość pochodnej dla x=0, a nie chodzi tu o obliczenie pochodnej w punkcie 0.

Zatem
\(\displaystyle{ f(x)=x(x-1)^{2} (x-2)^{3}}\)
\(\displaystyle{ g(x)=x}\)
\(\displaystyle{ h(x)=(x-1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ l(x)=(x-2)^{3}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)= g'(x) \cdot h(x) \cdot l(x) + g(x) \cdot h'(x) \cdot l(x) + g(x) \cdot h(x) \cdot l'(x)}\)
\(\displaystyle{ = (x-1)^{2}(x-2)^{3} + x(2x-1)(x-2)^{3} + x(x-1)^{2}(3x^{2}-12x+12)}\)

To było dobrze... Podstawić odpowiednio x = 0, x = 1, x=2 i masz
Aaaa... za dużo gadam.... nie znam się na tym i tak

ale pochodna X to jest 1
f'(0)=-8
f'(1)=0
f'(2)=0
takie są prawidlowe odpowiedzi

Fakt... chyba już wiem o co chodzi w tym Piszę właśnie rozwiązanie i mam nadzieję, że tym razem będzie dobrze. Ale i tak masz odpowiedzi?