Pochodna z definicji!

[prince86]

Jak możecie to obliczcie mi pochodna z definicji:
f(x)= cos4x
f'(X)=?



\(\displaystyle{ \large f(x)=\sqrt[3]{x}}\) (pierwiastek 3-ego stopinia z x)
f'(X)=?

Dz i pozdrawiam!

[iwetta]

w drugim bardzo latwe
\(\displaystyle{ (x^{\frac{1}{3}})'=\frac{(x+h)^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}})}{h}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}\)

[prince86]

przepraszam ale nie rozumiem!? w jaki sposób tak szybko to przekształciłaś?!

[iwetta]

eh nie chce mi sie calego rozwiazania pisac

[spajder]

w pierwszym po prostu skorzystaj ze wzoru na różnicę cosinusów.

[FraNz]

w drugim bardzo latwe
\(\displaystyle{ (x^{\frac{1}{3}})'=\frac{(x+h)^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}})}{h}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}\)

wie ktos jak to sie dokladnie przekształca ? i jeszcze dodatkowo obliczy pochodna z 1/x z definicji.
Bo muszem to zrozumieć z x^n umiem, ale nie wiem jak sie robi powyzsze

[abrasax]

skorzystaj ze wzoru:
\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{\frac{1}{3}}-{x^{\frac{1}{3}}}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x+h-x}{h((x+h)^{\frac{2}{3}} + (x+h)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} +x^{\frac{2}{3}})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(x+h)^{\frac{2}{3}} + (x+h)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} +x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}}\)

[olazola]

Porzedni temat skasowałam, bo łamał 3 punkty regulaminu, a w tym temacie chodzi o to samo.

\(\displaystyle{ \lim_{h\to\infty}\frac{\sqrt[3]{x_{0}+h}-\sqrt[3]{x_{0}}}{h}=\lim_{h\to\infty}\frac{(\sqrt[3]{x_{0}+h}-\sqrt[3]{x_{0}})(\sqrt[3]{(x_{0}+h)^2}+\sqrt[3]{(x_{0}+h)x_{0}}+\sqrt[3]{x_{0}^2})}{h(\sqrt[3]{(x_{0}+h)^2}+\sqrt[3]{(x_{0}+h)x_{0}}+\sqrt[3]{x_{0}^2})}=\lim_{h\to\infty}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h(\sqrt[3]{(x_{0}+h)^2}+\sqrt[3]{(x_{0}+h)x_{0}}+\sqrt[3]{x_{0}^2})}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x_{0}^2}}}\)

[FraNz]

Wielkie dzieki, mimo tego ze doszedlem do tego zanim napisaliscie ale i tak dzieki za tak szybla reakcje
tera sie mecze z wyliczeniem z definicji pochednej z 1/x (mam nadzieje ze jest latwoejsze niz pierwiastki)