Przestrzeń styczna

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
gauss2718
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 cze 2022, o 17:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 1 raz

Przestrzeń styczna

Post autor: gauss2718 » 20 cze 2022, o 17:31

Czy będzie ktoś łaskawy sprawdzić, czy to jest dobrze rozwiązane, pomijając uproszczony zapis niektórych oznaczeń?
Załączniki
84269358-d276-44bc-bb76-fc8ce28ac0ae.jpg

Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 88 razy

Re: Przestrzeń styczna

Post autor: Elvis » 24 cze 2022, o 09:51

W zadaniu należało wyznaczyć przestrzeń styczną, opisując ją funkcją afiniczną z \(\displaystyle{ \RR^2}\) w \(\displaystyle{ \RR^4}\). Twoje rozwiązanie kończy się określeniem jakiejś funkcji afinicznej z \(\displaystyle{ \RR^2}\) w \(\displaystyle{ \RR}\), więc nie odpowiada na zadane pytanie.

W ogóle wydaje się, że pracujesz z zupełnie innym zbiorem, bo zamiast dwóch równań u Ciebie pojawia się tylko jedno, będące wnioskiem z tamtych dwóch.
Ostatnio zmieniony 24 cze 2022, o 11:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.

gauss2718
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 cze 2022, o 17:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 1 raz

Re: Przestrzeń styczna

Post autor: gauss2718 » 26 cze 2022, o 23:19

Bardzo dziękuję za odpowiedź
Czy będziesz łaskaw:
a) nakierować mnie na sposób rozwiązania
i/lub
b) podać prawidłową odpowiedź
i/lub
c) pokazać jakiś analogiczny przykład, który mnie nakieruje, jak to trzeba zrobić?

Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 88 razy

Re: Przestrzeń styczna

Post autor: Elvis » 13 lip 2022, o 21:10

Opcja (c) jest pewnie najbardziej sensowna. Poszukałbym w dostępnych zbiorach zadań, starych egzaminach (nie tylko z Twojej uczelni) etc., ale samemu nie mam nic pod ręką, więc nic nie podsunę. Podobne zadania (czyli zadania typu "sprawdź czy coś jest rozmaitością") zazwyczaj wymagają zastosowania twierdzenia o funkcji uwikłanej; ten konkretny przypadek jest akurat prostszy.

Nie jest trudno zauważyć, że zbiór \(\displaystyle{ M}\) jest wykresem pewnej funkcji \(\displaystyle{ f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2}\). Mianowicie drugie równanie pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ z}\) na podstawie \(\displaystyle{ x,y}\), a pierwsze pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ t}\) na podstawie \(\displaystyle{ x,y,z}\), a więc (korzystając z drugiego równania) na podstawie \(\displaystyle{ x,y}\). Efektem jest
\(\displaystyle{ z = \ln(2x+y)}\), \(\displaystyle{ t = x^2+y^2-(\ln(2x+y))^2}\),
czyli innymi słowy, że \(\displaystyle{ M}\) jest wykresem funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y) = (\ln(2x+y), x^2+y^2-(\ln(2x+y))^2)}\).
W interesującym nas obszarze jest to funkcja klasy \(\displaystyle{ C^1}\), co uzasadnia, że M jest (pod)rozmaitością klasy \(\displaystyle{ C^1}\).

Wzór na przestrzeń styczną do wykresu funkcji pewnie gdzieś w notatkach masz? Wyznacza się go na podstawie pochodnych funkcji \(\displaystyle{ f}\). Pierwsza i druga współrzędna funkcji \(\displaystyle{ \varphi}\) jest zadana z góry (po prostu \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)), czwartą chyba wyznaczyłeś, brakuje jeszcze trzeciej.

ODPOWIEDZ