Wypukłość i wkłęsłość funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wypukłość i wkłęsłość funkcji

Post autor: max123321 »

Znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz punkty przegięcia dla:
\(\displaystyle{ f(x)=x\ln \frac{1}{x^2} }\)

No i mam tutaj problem, bowiem policzyłem pierwszą pochodną: \(\displaystyle{ f'(x)=\ln ( \frac{1}{x^2})-2 }\) i drugą pochodną równą \(\displaystyle{ f''(x)= -\frac{2}{x} }\). No i mam problem co z tym \(\displaystyle{ x=0}\). Ten punkt nie należy do dziedziny, więc czy może być tam punkt przegięcia? Nie mogę nigdzie w materiałach znaleźć informacji o tym, czy punkt przegięcia musi należeć do dziedziny. Bo w tym punkcie pozostałe warunki na punkt przegięcia są spełnione bowiem druga pochodna zmienia znak w tym punkcie. Więc jak to będzie, czy ta funkcja ma w \(\displaystyle{ x=0}\) punkt przegięcia?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7906
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji

Post autor: janusz47 »

Popraw obliczenie pierwszej i drugiej pochodnej funkcji, pamiętając, że pochodna logarytmu naturalnego \(\displaystyle{ [\ln(f(x)]' = \frac{1} {f(x)}\cdot f'(x). }\)
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1707
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 412 razy

Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji

Post autor: pesel »

Chyba dobrze policzył pochodne.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

pesel pisze: 1 gru 2021, o 18:24 Chyba dobrze policzył pochodne.
Ale dlaczego "chyba"?

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7906
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji

Post autor: janusz47 »

Słuszne pytanie ? Mnie się nie "chyba" lecz na pewno pokręciło. Pochodne obliczone są poprawnie!

\(\displaystyle{ f(x) = x\cdot \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) }\)

\(\displaystyle{ f'(x) = 1\cdot \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) + x\cdot \frac{1}{\frac{1}{x^2}} \cdot (-2)x^{-3}= \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) -2\frac{x^3}{x^3} = \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) -2, }\)

\(\displaystyle{ f^{''}(x) = \frac{1}{\frac{1}{x^2}} \cdot (-2)\cdot x^{-3} = -2 \cdot \frac{x^2}{x^{3}} =-2\cdot \frac{1}{x}. }\)

Dodano po 15 minutach 20 sekundach:
Jaka jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f, \ \ f' \ \ f^{''} ? }\)

Jaki jest warunek konieczny istnienia punktu przegięcia ?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

max123321 pisze: 1 gru 2021, o 15:58Nie mogę nigdzie w materiałach znaleźć informacji o tym, czy punkt przegięcia musi należeć do dziedziny.
A jak masz zdefiniowany punkt przegięcia?

Ja uważam, że powinien punkt przegięcia należeć do wykresu, ale zawsze lepiej odnosić się do definicji, które miało się podane.

JK
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji

Post autor: max123321 »

Dziękuję J. Kraszewski

Czyli według Ciebie punkt przegięcia powinien należeć do wykresu, czyli w tym przypadku w \(\displaystyle{ x=0}\) nie ma punktu przegięcia?

Czy mogą się jeszcze inne osoby wypowiedzieć na ten temat czy punkt przegięcia musi należeć do dziedziny funkcji?

Niestety nie mam dostępu do definicji. Chcę to zrobić tak jak się najczęściej robi. Jeśli nie ma jasności co do tego to chyba przyjmę definicję z wikipedii:
Funkcja w \(\displaystyle{ x=x_0}\) ma punkt przegięcia wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ r \in \RR_+}\) dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\) lub odwrotnie: ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\).

Czy według tej definicji punkt przegięcia musi należeć do dziedziny?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

max123321 pisze: 2 gru 2021, o 15:48Niestety nie mam dostępu do definicji. Chcę to zrobić tak jak się najczęściej robi. Jeśli nie ma jasności co do tego to chyba przyjmę definicję z wikipedii:
Funkcja w \(\displaystyle{ x=x_0}\) ma punkt przegięcia wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ r \in \RR_+}\) dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\) lub odwrotnie: ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\).
Jak już cytujesz wiki, to zapomniałeś o kolejnym zdaniu:

Zwykle wymaga się dodatkowo ciągłości funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\). Niekiedy wymaga się też różniczkowalności w tym punkcie.

A to wymaga, by \(\displaystyle{ x_0}\) należało do dziedziny...

Obawiam się zatem, że nie masz szans na jednoznaczną odpowiedź.

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7906
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji

Post autor: janusz47 »

Zakłada się , że jeśli funkcja jest ciągła w \(\displaystyle{ (a, b)}\) i co najmniej dwukrotnie różniczkowalna w \(\displaystyle{ (a, b) \setminus \{x_{0}\} }\)
to
(i)
jeżeli \(\displaystyle{ x_{0} }\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f, }\) to \(\displaystyle{ f''(x_{0}) = 0 }\) lub nie istnieje \(\displaystyle{ f''(x_{0}),}\)
(ii)
jeżeli \(\displaystyle{ f'' }\) zmienia znak przy przejściu przez \(\displaystyle{ x_{0}, }\)

to \(\displaystyle{ x_{0} }\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f.}\)
Ostatnio zmieniony 2 gru 2021, o 20:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ