Wyróżnik dla wielomianu stopnia 3?

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Wyróżnik dla wielomianu stopnia 3?

Post autor: PR713 » 10 wrz 2021, o 22:02

Mam pytanie, co to są za wzory i czy są one prawdziwe?

https://www.matematyczny-swiat.pl/2013/07/monotonicznosc-funkcji-wielomianowej.html

Jeszcze w szkole nie miałem pochodnej i granic funkcji ale w podręczniku na mat-fiz w tym dziale nie ma tych wzorów tylko liczy się to licząc pochodną wielomianu. Czy te wzory powodują szybsze wyznaczenie monotoniczności czy lepiej liczyć pochodną? Gdzieś dowiedziałem się również że te wzory są na miejsca zerowe funkcji pochodnej ( a pod linkiem ja punkty w których funkcja zmienia monotoniczność ), a przyznam że zdziwiła mnie delta dla wielomianu stopnia 3 bo najpierw myślałem że jest to wzór na pierwiastki wielomianu, aczkolwiek ten jak poszukałem jest o wieeeele dłuższy i skomplikowany... wzór Cardano bodajże?
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2021, o 22:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23298
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3210 razy

Re: Wyróżnik dla wielomianu stopnia 3?

Post autor: piasek101 » 10 wrz 2021, o 22:22

To wzory na argumenty ekstremów lokalnych wielomianu trzeciego stopnia (o ile istnieją) - wyprowadzone w oparciu (prawdopodobnie) o pochodną.

Nie jest to wyróżnik wielomianu.

Pokazać skąd one są ?

[edit] Napiszę (w skrócie) bo zaraz idę.

\(\displaystyle{ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=3ax^2+2bx+c}\)

Szukamy miejsc zerowych pochodnej
\(\displaystyle{ \Delta_p=(2b)^2 - 4\cdot 3ac=4(b^2-3ac)=4\Delta}\) (ktoś deltą oznaczył to z nawiasu)

\(\displaystyle{ x_1 = \frac{-2b- 2\sqrt {\Delta}}{6a}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{3a}}\)

analogicznie \(\displaystyle{ x_2}\)

PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Wyróżnik dla wielomianu stopnia 3?

Post autor: PR713 » 13 wrz 2021, o 15:36

Rozumiem, dziękuję, nie brałem tego jeszcze w szkole ( analizy matematycznej ), a czy te wzory bierze się w szkole czy mimo to łatwiejsze jest liczenie tego bezpośrednio z pochodnej, a nie wyznaczając te wzory?
Wspomniał Pan "o ile istnieją" a czy może się zdarzyć że funkcja wielomianowa nie ma argumentu ekstremum lokalnego? ( Jeśli nie przekręciłem nazwy, bo na 100% nie wiem co to jest do końca, tak +-) czyli jeśli dobrze rozumiem że nie ma miejsca w którym zmienia monotoniczność?


Mam też takie inne pytanie, jak już wspomniałem o wzorach Cardano.

Zastanawia mnie sposób rozwiązania takiego równania ( któro ma pierwiastek niewymierny oraz bardzo skompikowany, sprawdziłem to rozwiązując na stronie wolframalpha ), x³-x+1 , bo jeśli chodzi o to czy każde równanie bądź nierówność można rozwiązać to tak, albo schematem Hornera, albo w oparciu o twierdzenie o wymiernych pierwiastkach p/q , albo pochodną lub nawet w ostateczności wzory Cardano, chciałbym poznać wasz sposób jak rozwiązać takie równanie i czy się da inną powszechną metodą niż podstawieniem do wzoru Cardano? 😅

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23298
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3210 razy

Re: Wyróżnik dla wielomianu stopnia 3?

Post autor: piasek101 » 13 wrz 2021, o 21:05

1) Wzory (jak zauważyłem) zostały wyprowadzone w oparciu o pochodną - więc najpierw pochodna, potem wzory (jak już ktoś chce je zapamiętać).

2) Dużo by trzeba pisać - w trakcie nauki poznaje się różne (często coraz bardziej skomplikowane) metody, dobierane do trudności zadania.
Wzorów Cardano używamy (trzeci stopień) gdy inne łatwiejsze metody nie doprowadziły nas do rozwiązania równania (a może nie zauważyliśmy, że można to rozwiązać bez tych wzorów).
Dalej są wzory Ferrari - tym razem czwarty stopień.

PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Wyróżnik dla wielomianu stopnia 3?

Post autor: PR713 » 14 wrz 2021, o 19:21

Tak, więc takie równanie można rozwiązać korzystając tylko ze wzorów Cardano?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23298
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3210 razy

Re: Wyróżnik dla wielomianu stopnia 3?

Post autor: piasek101 » 14 wrz 2021, o 21:07

Akurat to co tu napisałeś - tak.

ODPOWIEDZ