Udowodnij poniższe twierdzenie

[Iza8723]

Niech \(\displaystyle{ f \in C(\left[ 0,2\right]) }\) będzie funkcją spełniającą warunek \(\displaystyle{ f(0)=f(2)}\). Wykazać, że istnieją \(\displaystyle{ x_{1}, x _{2} \in [0,2]}\) takie, że \(\displaystyle{ x_{2} - x_{1}=1 }\) i \(\displaystyle{ f(x _{2})=f(x _{1}) }\).

[a4karo]

Wsk. Pomyśl o funkcji `g(x) =f(x+1)-f(x)`

[janusz47]

Może najpierw pomyślmy o transformacji \(\displaystyle{ f(x) \rightarrow f(x+1). }\)

Na jakim przedziale \(\displaystyle{ x\in [...] }\) jest określona funkcja \(\displaystyle{ f(x+1), }\)

jeśli z założenia funkcja \(\displaystyle{ f(x) }\) jest funkcją ciągłą określoną na przedziale domkniętym \(\displaystyle{ [0, 2]? }\)

Później zdefiniujemy sobie funkcję \(\displaystyle{ g(x) = f(x+1) - f(x). }\)

Dodano po 3 godzinach 41 minutach 30 sekundach:
Dowód

Załóżmy, że funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest funkcją ciągłą określoną na przedziale domkniętym \(\displaystyle{ [0, 2] }\)

Funkcja \(\displaystyle{ f(x+1) }\) jest określona na przedziale \(\displaystyle{ [-1, 1] }\) i ciągła.

(transformacja funkcji \(\displaystyle{ f }\) na przedział \(\displaystyle{ [-1, 1], }\))

Definiujemy funkcję \(\displaystyle{ g(x) = f(x+1) - f(x) }\)

Mamy

\(\displaystyle{ g(0) = f(1) - f(0)}\),

\(\displaystyle{ g(1) = f(2) - f(1) = f(0) - f(1) }\)

Stąd

\(\displaystyle{ g(0) = -g(1),}\)

\(\displaystyle{ g(1) + g(0) = 0 }\)

Jeśli \(\displaystyle{ g(0) = 0 }\) wtedy \(\displaystyle{ f(1) = f(0) }\) i stosujemy podstawienia \(\displaystyle{ x_{1} = 0, \ \ x_{2} =1 }\) spełniające równości \(\displaystyle{ x_{2} - x_{1} = 1 }\) i \(\displaystyle{ f(x_{1}) = f(x_{2}). }\)

W przeciwnym przypadku jedna z wartości funkcji \(\displaystyle{ g(0), \ \ g(1) }\) jest dodatnia druga ujemna.

Stosując Twierdzenie Rolle'a: "istnieje taki punkt \(\displaystyle{ \xi \in (0,1), }\) że \(\displaystyle{ g(\xi) = 0"}\)

mamy

\(\displaystyle{ 0 = g(\xi) = f(\xi +1) - f(\xi), }\)

więc

\(\displaystyle{ f(\xi +1) = f(\xi) }\)

Podstawiając

\(\displaystyle{ x_{1} = \xi }\) i \(\displaystyle{ x_{2} = \xi +1,\ \ x_{1}, \ x_{2} \in [0, 2],}\)

otrzymujemy równości

\(\displaystyle{ x_{2} - x_{1} = 1, \ \ f(x_{1}) = f(x_{2}). }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)

[Iza8723]

Stosując Twierdzenie Rolle'a: "istnieje taki punkt \(\displaystyle{ \xi \in (0,1), }\) że \(\displaystyle{ g(\xi) = 0"}\)

A nie tw. Darboux ?

[janusz47]

Ma Pani rację.

Trzeba. Można też zastosować twierdzenie o wartości średniej Lagrange'a.

[a4karo]

Twierdzenie Rolle'a nie ma tu zastosowania. Ale bardzo chciałbym zobaczyć jak robisz to Lagrangem