Ekstrema funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 320
- Rejestracja: 7 cze 2016, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 3 razy
Ekstrema funkcji
Wyznaczyć ekstrema funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x}{2y}+ \frac{2y}{x}, \ x,y>0}\)
No i policzyłem sobie pochodne pierwszego rzędu:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{1}{2y}- \frac{2y}{x^2} \\ \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{2}{x}- \frac{x}{2y^2}}\)
Przyrównałem do \(\displaystyle{ 0}\) i wyszło \(\displaystyle{ x=2y}\)
No i potem liczę drugiego rzędu, nastepnie podstawiam do wyznacznika i wychodzi \(\displaystyle{ 0}\).
I co teraz mam zrobić?
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x}{2y}+ \frac{2y}{x}, \ x,y>0}\)
No i policzyłem sobie pochodne pierwszego rzędu:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{1}{2y}- \frac{2y}{x^2} \\ \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{2}{x}- \frac{x}{2y^2}}\)
Przyrównałem do \(\displaystyle{ 0}\) i wyszło \(\displaystyle{ x=2y}\)
No i potem liczę drugiego rzędu, nastepnie podstawiam do wyznacznika i wychodzi \(\displaystyle{ 0}\).
I co teraz mam zrobić?
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Ekstrema funkcji
Spróbować zaatakować problem z innej strony.
Wiesz (z warunku koniecznego na ekstremum), że jeśli funkcja ma ekstremum, to znajduje się ono na półprostej \(\displaystyle{ x=2y, y >0}\). Zauważ, że
\(\displaystyle{ f(2y, y) = \frac{2y}{2y} + \frac{2y}{2y} = 2}\), czyli \(\displaystyle{ f}\) ograniczona do badanej półprostej jest stała. Ponadto z nierówności między średnimi (\(\displaystyle{ a + b \geq 2\sqrt{ab}}\))
\(\displaystyle{ f(x,y) \geq 2\sqrt{\frac{x}{2y} \frac{2y}{x}} = 2,}\)
zatem każdy punkt na półprostej jest ekstremum (nawet globalnym).
Wiesz (z warunku koniecznego na ekstremum), że jeśli funkcja ma ekstremum, to znajduje się ono na półprostej \(\displaystyle{ x=2y, y >0}\). Zauważ, że
\(\displaystyle{ f(2y, y) = \frac{2y}{2y} + \frac{2y}{2y} = 2}\), czyli \(\displaystyle{ f}\) ograniczona do badanej półprostej jest stała. Ponadto z nierówności między średnimi (\(\displaystyle{ a + b \geq 2\sqrt{ab}}\))
\(\displaystyle{ f(x,y) \geq 2\sqrt{\frac{x}{2y} \frac{2y}{x}} = 2,}\)
zatem każdy punkt na półprostej jest ekstremum (nawet globalnym).
-
- Użytkownik
- Posty: 320
- Rejestracja: 7 cze 2016, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 3 razy
Ekstrema funkcji
Dzięki
Kolejny przykład z którym mam problem:
\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x^3}{3}-xy^2+\frac{y^2}{2}}\)
Wyszły mi tu trzy punkty stacjonarne i wrońskian jest równy \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ (0,0)}\) - i jak to ugryźć?
Kolejny przykład z którym mam problem:
\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x^3}{3}-xy^2+\frac{y^2}{2}}\)
Wyszły mi tu trzy punkty stacjonarne i wrońskian jest równy \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ (0,0)}\) - i jak to ugryźć?
-
- Użytkownik
- Posty: 320
- Rejestracja: 7 cze 2016, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 3 razy
Ekstrema funkcji
\(\displaystyle{ f(x,0)=\frac{x^3}{3}}\)
I jeśli by z tego wyliczyć pochodną
\(\displaystyle{ f'_x(x,0)=x^2}\)
Wychodzi na to, że pochodna się zeruje w \(\displaystyle{ x=0}\), więc tam następuje zmiana znaku. Więc jest jakieś ekstremum. A konkretniej to chyba nawet minimum.
I jeśli by z tego wyliczyć pochodną
\(\displaystyle{ f'_x(x,0)=x^2}\)
Wychodzi na to, że pochodna się zeruje w \(\displaystyle{ x=0}\), więc tam następuje zmiana znaku. Więc jest jakieś ekstremum. A konkretniej to chyba nawet minimum.
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Ekstrema funkcji
Pała z analizy I
Funkcja \(\displaystyle{ x \mapsto x^3/3}\) akurat wybitnie nie ma ekstremum w zerze - jest ujemna na lewo i dodatnia na prawo. Rozważanie naszej funkcji dwu zmiennych akurat na tej szczególnie dobranej prostej ma nas doprowadzić do wykazania, że tam właśnie ekstremum nie ma.
Funkcja \(\displaystyle{ x \mapsto x^3/3}\) akurat wybitnie nie ma ekstremum w zerze - jest ujemna na lewo i dodatnia na prawo. Rozważanie naszej funkcji dwu zmiennych akurat na tej szczególnie dobranej prostej ma nas doprowadzić do wykazania, że tam właśnie ekstremum nie ma.
-
- Użytkownik
- Posty: 320
- Rejestracja: 7 cze 2016, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 3 razy
Ekstrema funkcji
Aż mi się głupio zrobiło
Ok, mam jeszcze ostatni przykładzik - słowo honoru
Polecenie takie samo jak poprzednio.
\(\displaystyle{ f(x,y)=y\cdot\ln\left(x^2+y^2+1\right)}\)
Punkt stacjonarny wyszedł \(\displaystyle{ (0,0)}\), wyznacznik oczywiście \(\displaystyle{ 0}\).
Badanie \(\displaystyle{ f(x,0)}\) od razu pokazuje, że jest to równe \(\displaystyle{ 0}\) - więc wielkiego sensu nie ma.
Z kolei \(\displaystyle{ f(0,y)}\) - tutaj zostanie \(\displaystyle{ y\ln(y^2+1)}\) i to nie jest ekstremum (analogia jak w poprzednim przykładzie) - więc ekstremum w \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie istnieje. Dobrze?
Ok, mam jeszcze ostatni przykładzik - słowo honoru
Polecenie takie samo jak poprzednio.
\(\displaystyle{ f(x,y)=y\cdot\ln\left(x^2+y^2+1\right)}\)
Punkt stacjonarny wyszedł \(\displaystyle{ (0,0)}\), wyznacznik oczywiście \(\displaystyle{ 0}\).
Badanie \(\displaystyle{ f(x,0)}\) od razu pokazuje, że jest to równe \(\displaystyle{ 0}\) - więc wielkiego sensu nie ma.
Z kolei \(\displaystyle{ f(0,y)}\) - tutaj zostanie \(\displaystyle{ y\ln(y^2+1)}\) i to nie jest ekstremum (analogia jak w poprzednim przykładzie) - więc ekstremum w \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie istnieje. Dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 320
- Rejestracja: 7 cze 2016, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 3 razy
Ekstrema funkcji
Ok, to jeszcze dla pewności, że umiem
Sytuacja jak w poprzednich przykładach, funkcja:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^4-y^3-4y^2-4y=x^4-y(y+2)^2}\)
punkt stacjonarny: \(\displaystyle{ (0,-2)}\)
Dla \(\displaystyle{ f(x,-2)}\) rzeczywiście w \(\displaystyle{ x=0}\) mamy minimum, więc póki co jest ok.
Dla \(\displaystyle{ f(0,y)}\) mamy \(\displaystyle{ -y(y+2)^2}\) no i nie mamy tu żadnego ekstremum dla \(\displaystyle{ y=-2}\). Także ekstremum nie istnieje.
Sytuacja jak w poprzednich przykładach, funkcja:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^4-y^3-4y^2-4y=x^4-y(y+2)^2}\)
punkt stacjonarny: \(\displaystyle{ (0,-2)}\)
Dla \(\displaystyle{ f(x,-2)}\) rzeczywiście w \(\displaystyle{ x=0}\) mamy minimum, więc póki co jest ok.
Dla \(\displaystyle{ f(0,y)}\) mamy \(\displaystyle{ -y(y+2)^2}\) no i nie mamy tu żadnego ekstremum dla \(\displaystyle{ y=-2}\). Także ekstremum nie istnieje.
- AloneAngel
- Użytkownik
- Posty: 630
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 176 razy
Ekstrema funkcji
Funkcja \(\displaystyle{ -y(y+2)^2}\) ma ekstremum dla \(\displaystyle{ y = -2}\) - jest to minimum lokalne. Co więcej Twoja wyjściowa funkcja w punkcie \(\displaystyle{ (0,-2)}\) posiada minimum lokalne (co oczywiście nie wynika z tego, że na tamtych dwóch prostych je przyjmuje).