ciag geometryczny a matematyka finansowa

[danreg87]

witam

\(\displaystyle{ 1000= \frac{100}{(1+r)}+ \frac{100}{(1+r)^2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{100}{(1+r)^{12}}}\)

trzeba wyliczyć \(\displaystyle{ r \wedge{r >0}}\)

zrobilem tak:

\(\displaystyle{ 1000=100[ (1+r)^{-1}+ (1+r)^{-2} + ... + (1+r)^{-12}] \\
\ t= (1+r)^{-1} \\
\ 10= t^1+t^2+....t^{12} \\
\ S_{t} = \frac{t}{1-t} \\
\ 10 = \frac{t}{1-t}}\)

wynik bedzie taki że \(\displaystyle{ r }\)

[scyth]

a powinno być (wzór na sumę 12 wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazie pierwszym \(\displaystyle{ a_1=t}\) i ilorazie \(\displaystyle{ q=t}\)):
\(\displaystyle{ S_{12}=\frac{t(1-t^{12})}{1-t}=10}\)

[robert9000]

jest to ciąg geometryczny i ma określoną liczbę wyrazów, a do sumowania stosujesz wzór na szereg geometryczny. Poprawny wzór to:
\(\displaystyle{ S_{t}=t \frac{1-t^{12}}{1-t} \\
10=t \frac{1-t^{12}}{1-t} \\
10-10t=t-t^{13} \\
t^{13}-11t+10=0}\)

oczywiście \(\displaystyle{ t 1}\)

po wstawieniu Twojego wyniku r w zaokrągleniu \(\displaystyle{ S_{t}}\) wychodzi 10, więc chyba tak to powinno być

[danreg87]

wiem tez, ze istnieje druga metoda - szybsza - by wyliczyc, ale znam tylko jej poczatek tzn

\(\displaystyle{ \ 10= t^1+t^2+....t^{12} \\
\ ln10= lnt^1+lnt^2+....lnt^{12} \\
\ ln10= lnt + 2lnt+ ....12lnt\\}\)

z tym ze dalej cos mi sie rozjedza, jak powinno byc to dokladnie?

[scyth]

Źle - logarytm sumy nie jest sumą logarytmów, a takie przejście zastosowałeś w drugim kroku!

[danreg87]

wiec jak powinno byc poprawnie?

ln10 = ln czego? bo jak tak nie jest poprawnie to inny sposob chyba nic nie wnosi?

[scyth]

\(\displaystyle{ \ln 10 = \ln (t+t^2+\ldots + t^{12})}\)