Znajdź liczby. Ciąg geometryczny i ciąg arytmetyczny

matman · Post autor: **matman** » 18 sie 2004, o 20:32

1. Suma trzech liczb stanowiących kolejne wyrazy ciągu geometrycznego wynosi 26. Jeżeli do tych liczb dodamy odpowiednio 1, 6, 3 to otrzymane liczby utworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby.

Starałem się to obliczyć, jednak zawsze coś się nie zgadzało.

Moje rozwiązanie:

Niech a_1, a_2, a_3 będą kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

a_1 = a_1
a_2 = a_1*q
a_3 = a_1*q^2

Ich suma wynosi 26

Stąd

a_1 + a_1*q + a_1*q^2 = 26

Wyznaczam a_1 i z równania a_1 + a_1*q + a_1*q^2 = 26 otrzymuję:

a_1 = 26/(1 + q + q^2)

Do a_1, a_2, a_3 dodaję odpowiednio 1, 6, 3:

a_1 = a_1 + 1
a_2 = a_1*q + 6
a_3 = a_1*q^2 + 3

gdzie a_1 = 26/(1 + q + q^2)

Stąd:

a_1 = 26/(1 + q + q^2) + 1

a_2 = 26q/(1 + q + q^2) + 6

a_3 = 26q^2/(1 + q + q^2) + 3

Sprowadzam do wspólnego mianownika i mam kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:

a_1 = (27 + q + q^2)/(1 + q + q^2)

a_2 = (6 + 32q + 6q^2)/(1 + q + q^2)

a_3 = (3 + 3q + 29q^2)/(1 + q + q^2)

Korzystam z wzoru (ciąg arytmetyczny)

a_2 - a_1 = a_3 - a_2

Stąd:

(6 + 32q + 6q^2)/(1 + q + q^2) - (27 + q + q^2)/(1 + q + q^2) = (3 + 3q + 29q^2)/(1 + q + q^2) - (6 + 32q + 6q^2)/(1 + q + q^2)

Redukuję do równania kwadratowego i delta nie chce mi wyjść. Nie mam odpowiedzi do tego zadania i nie wiem czy pierwiastek z delty ma być całkowity czy nie. Być może wcześniej popełniłem jakieś błędy, jednak sprawdzałem i wszystko wydaje mi się zrobione poprawnie. Czy mógły ktoś obliczyć to zadanie, ewentualnie poprawić moje błędy.

Dziękuję za pomoc.

Arek · Post autor: **Arek** » 18 sie 2004, o 21:02

Nie wiem, co wyjdzie w Twoim pomyśle, ale mam szybszy /jak sądzę/:

Jak sam zauważyłeś: (1) a_1 = 26/(1 + q + q^2)

Zostawmy Twoje oznaczenia:

z własności ciągu arytmetycznego:

(a_3+3)-(a_2+6)=(a_2+6)-(a_1+1)

Wstawiając i błyskawicznie przekształcając mamy:

(2) a_1(q^2-2q+1)=8

Zauważ, że odejmując to od otrzymanego wyniku: a_1*q=6

Dalsze obliczenia to formalność: mamy:

6/q=26/q^2+q+1, czyli: 3*q^2-10q+3=0, czyli:

delta = 100 - 36=64

Zatem: q=3 lub q=1/3. Jak więc sam zauważysz: a_1=2 lub a_1=18

Po sprawdzeniu jest alles klar!

Pozdrawiam

matman · Post autor: **matman** » 19 sie 2004, o 20:00

Dzięki

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 22 sie 2004, o 12:05

A co do twojego rozwiązania matman to też nie jest złe. tylko że można zamiast zakładać, że
a2-a1=a3-a2 założyć, że

a2=(a1+a3)/2

W efekcie końcowym otrzymujemy równanie kwadratowe

3q^2-10q+3=0 czyli q=3 lub q=1/3

Arek · Post autor: **Arek** » 22 sie 2004, o 13:13

No, bo właściwie: a2-a1=a3-a2 to nie to samo co a2=(a1+a3)/2

Pozdr.

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 22 sie 2004, o 13:37

w sumie to nie to samo ale łatwiej rozwiązać.

matman · Post autor: **matman** » 29 sie 2004, o 15:45

Jeszcze raz spróbowałem swoim sposobem rozwiązać zadanie i wszystko wyszło.

3q^2-10q+3=0 czyli q=3 lub q=1/3

Cały problem polegał na niedopatrzeniu (powtarzającym się).

PS Nie ma różnicy, czy skorzystam z a_n - a_n - 1 = a_n + 1 - a_n czy a_n = (a_n - 1 + a_n -1)/2 zawsze odpowiedź wyjdzie ta sama.

Odp. (18, 6, 2)

Pozdrawiam.