1 Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 30. Jeżeli od pierwszej liczby odejmiemy 5, od drugiej odejmiemy 4, a trzecią pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
2 Liczby 5x-y, 2x+y, x+2y tworzą ciag arytmetyczny, natomiast (y+1)^2, xy+1, (x-1)^2 tworzą ciąg geometryczny. Znajdż wyrazy tych ciagów.
(2 zadania) Znajdź wyrazy ciągów arytmetycznych
(2 zadania) Znajdź wyrazy ciągów arytmetycznych
trzy liczby tworza ciag arytmetyczny, jesli
druga - pierwsza = trzecia - druga,
a geometryczny, jesli
druga : pierwsza = trzecia : druga,
w takim (typowym) zadaniu z tych (i podobnych) warunkow tworzymy dwa rownania, sa zwykle dwie niewiadome, rozwiązujemy układ równań.
Zadanie1
Niech te liczby to beda:
a-r, a, a+r
suma ich jest rowna 30, zatem a=10.
ciąg geometryczny będą tworzyć liczby (wstawiamy warunki zadania i to, co już mamy, że a=10):
5-r, 6, 10+r
mamy równanie (proporcję)
(5-r)/6 = 6/(10+r)
mnożymy na krzyż, rozwiązujemy równanie kwadratowe, wychodzą dwa rozwiązania
r1=2, r2=-7
zatem te trzy wyjściowe liczby to będą:
(8, 10, 12) lub (17, 10, 3)
mozna dla pewności sobie sprawdzić, czy rzeczywiście po dodaniu/odjęciu tego co trzeba (z treści zadania) wychodzi ciąg geometryczny:
(3, 6, 12) lub (12, 6, 3) - zgadza się
2.
Technika podobna. Najpierw bierzemy warunek, że ciąg arytmetyczny:
(2x+y) - (5x+y) = (x+2y) - (2x+y)
wychodzi, że y=2x
Z warynku na ciąg geometryczny układamy proporcję (wykorzystując, że y=2x), mnożymy na krzyż:
(y+1)^2 / (xy+1) = (xy+1) / (x-1)^2
(2x+1)^2 / (2x^2+1) = (2x^2+1) / (x-1)^2
po wymnożeniu wychodzi równanie co prawda czwartego stopnia, ale mnóstwo się skraca, zostaje równanie trzeciego stopniabez wyrazu wolnego:
-4 x^3 -7x^2 + 2x = -x(4x^2 +7x -2)= 0
Jednym z rozwiązań będzie
x1=0 więc y1 = 0 i
ciąg arytmetyczny: (0,0,0),
geometryczny (1, 1, 1)
a dla trójmianu kwadratowego 4x^2 +7x -2 liczymy delte i pierwiastki, mamy dalsze dwa rozwiązania:
x2=1/4 więc y2 = 1/2 i
ciąg arytmetyczny: (3/4, 1=4/4, 5/4),
geometryczny (9/4, 9/8, 9/16)
x3=-2 więc y3 = -4 i
ciąg arytmetyczny: (-6, -8, -10),
geometryczny (9, 9, 9)
druga - pierwsza = trzecia - druga,
a geometryczny, jesli
druga : pierwsza = trzecia : druga,
w takim (typowym) zadaniu z tych (i podobnych) warunkow tworzymy dwa rownania, sa zwykle dwie niewiadome, rozwiązujemy układ równań.
Zadanie1
Niech te liczby to beda:
a-r, a, a+r
suma ich jest rowna 30, zatem a=10.
ciąg geometryczny będą tworzyć liczby (wstawiamy warunki zadania i to, co już mamy, że a=10):
5-r, 6, 10+r
mamy równanie (proporcję)
(5-r)/6 = 6/(10+r)
mnożymy na krzyż, rozwiązujemy równanie kwadratowe, wychodzą dwa rozwiązania
r1=2, r2=-7
zatem te trzy wyjściowe liczby to będą:
(8, 10, 12) lub (17, 10, 3)
mozna dla pewności sobie sprawdzić, czy rzeczywiście po dodaniu/odjęciu tego co trzeba (z treści zadania) wychodzi ciąg geometryczny:
(3, 6, 12) lub (12, 6, 3) - zgadza się
2.
Technika podobna. Najpierw bierzemy warunek, że ciąg arytmetyczny:
(2x+y) - (5x+y) = (x+2y) - (2x+y)
wychodzi, że y=2x
Z warynku na ciąg geometryczny układamy proporcję (wykorzystując, że y=2x), mnożymy na krzyż:
(y+1)^2 / (xy+1) = (xy+1) / (x-1)^2
(2x+1)^2 / (2x^2+1) = (2x^2+1) / (x-1)^2
po wymnożeniu wychodzi równanie co prawda czwartego stopnia, ale mnóstwo się skraca, zostaje równanie trzeciego stopniabez wyrazu wolnego:
-4 x^3 -7x^2 + 2x = -x(4x^2 +7x -2)= 0
Jednym z rozwiązań będzie
x1=0 więc y1 = 0 i
ciąg arytmetyczny: (0,0,0),
geometryczny (1, 1, 1)
a dla trójmianu kwadratowego 4x^2 +7x -2 liczymy delte i pierwiastki, mamy dalsze dwa rozwiązania:
x2=1/4 więc y2 = 1/2 i
ciąg arytmetyczny: (3/4, 1=4/4, 5/4),
geometryczny (9/4, 9/8, 9/16)
x3=-2 więc y3 = -4 i
ciąg arytmetyczny: (-6, -8, -10),
geometryczny (9, 9, 9)