Arytmetyczny- niewiadome
-
ta_paula
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 25 paź 2006, o 20:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: LBL
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 4 razy
Arytmetyczny- niewiadome
Cztery różne liczby całkowite są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Czwarty wyraz ciągu jest równy sumie kwadratów trzech pozostałych wyrazów. Jakie to liczby?
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Arytmetyczny- niewiadome
Skoro w tym ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest całkowity, to różnica ciągu też jest całkowita:
\(\displaystyle{ a+3r=a^2+(a+r)^2+(a+2r)^2 \\ a+3r=a^2+a^2+2ar+r^2+a^2+4ar+4r^2 \\ (1) \ a+3r=3a^2+6ar+5r^2 \\ 3a^2+a(6r-1)+5r^2-3r=0 \\ \Delta=36r^2-12r+1-12(5r^2-3r) \\ \Delta=36r^2-12r+1-60r^2+36r=-24r^2+24r+1=-24r(r-1)+1}\)
Ponieważ nie chce mi się liczyć drugiej delty, to zauważam, że gdy r>1 i r jest całkowite, to iloczyn -24r(r-1) jest mniejszy od -1, a gdy r\(\displaystyle{ a+3=3a^2+6a+5 \\ 3a^2+5a+2=0 \\ \Delta=25-24=1 \\ \sqrt{\Delta}=1 \\ a_{1}=\frac{-5-1}{6}=-1 \\ a_{2}=\frac{-5+1}{6}=-\frac{2}{3}}\)
'a' miało być całkowite, to a=-1.
Odpowiedź: Te liczby to -1, 0, 1, 2.
\(\displaystyle{ a+3r=a^2+(a+r)^2+(a+2r)^2 \\ a+3r=a^2+a^2+2ar+r^2+a^2+4ar+4r^2 \\ (1) \ a+3r=3a^2+6ar+5r^2 \\ 3a^2+a(6r-1)+5r^2-3r=0 \\ \Delta=36r^2-12r+1-12(5r^2-3r) \\ \Delta=36r^2-12r+1-60r^2+36r=-24r^2+24r+1=-24r(r-1)+1}\)
Ponieważ nie chce mi się liczyć drugiej delty, to zauważam, że gdy r>1 i r jest całkowite, to iloczyn -24r(r-1) jest mniejszy od -1, a gdy r\(\displaystyle{ a+3=3a^2+6a+5 \\ 3a^2+5a+2=0 \\ \Delta=25-24=1 \\ \sqrt{\Delta}=1 \\ a_{1}=\frac{-5-1}{6}=-1 \\ a_{2}=\frac{-5+1}{6}=-\frac{2}{3}}\)
'a' miało być całkowite, to a=-1.
Odpowiedź: Te liczby to -1, 0, 1, 2.