Zadanie o konkursie

[przemekp07]

Za wyniki osiągnięte w pewnym konkursie przyznano kilka nagród pienięznych . Łączna kwota nagród wyniosło 22000 zł. Jeden z jurorów zauważył , że wartość poszczególnych nagród tworzą ciąg arytmetyczny . Na pierwszą i trzecią nagrodę przeznaczona łącznie 14000 zł , czwarta nagroda to 1000 zł. Ile nagród przyznano w tym konkursie i jaką kwotę pieniędzy przeznaczono na pierwszą nagrodę ?

[Szemek]

\(\displaystyle{ a_1+a_3=14000}\)
\(\displaystyle{ a_4=1000}\)
\(\displaystyle{ a_1=(a_4-3r)}\)
\(\displaystyle{ a_3=(a_4-r)}\)
\(\displaystyle{ (a_4-3r)+(a_4-r)=14000}\)
\(\displaystyle{ 1000-3r+1000-r=14000}\)
\(\displaystyle{ -4r=12000}\)
\(\displaystyle{ r=-3000}\)
\(\displaystyle{ a_1=1000-(3 -3000)=10000}\)
Jeśli \(\displaystyle{ r=-3000}\) a czwarta nagroda to 1000, to mniejszej nagrody być nie może.
Więc na czwartej nagrodzie musiało się skończyć.
Mimo wszystko dowód
\(\displaystyle{ S_n=\frac{a_1+a_n}{2} n}\)
\(\displaystyle{ S_n=\frac{a_1+a_1+(n-1)\cdot r}{2} n}\)
\(\displaystyle{ S_n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2} n}\)
\(\displaystyle{ 22000=\frac{20000-3000n+3000}{2}\cdot n}\)
\(\displaystyle{ 44000=(23000-3000n)n}\)
\(\displaystyle{ -3000n^2+23000n-44000=0}\)
całkowitym pierwiastkiem równania jest \(\displaystyle{ 4}\)

[andkom]

Mamy \(\displaystyle{ a_1+a_3=14000}\)
Stąd \(\displaystyle{ a_2=\frac{a_1+a_3}2=\frac{14000}2=7000}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ a_4=1000}\), satem różnica naszego ciągu wynosi \(\displaystyle{ \frac{a_4-a_2}{4-2}=\frac{6000}2=3000}\).
Stąd \(\displaystyle{ a_1=a_2-(-3000)=10000\\
a_2=7000\\
a_3=a_2+(-3000)=4000\\
a_4=1000}\)
i dalej nie liczymy, gdyż następny wyraz byłby ujemny (a nagrody są zwykle dodatnie), a poza tym już \(\displaystyle{ 10000+7000+4000+1000=22000}\)