Wyprowadzic wzór.... dwumian newtona
: 22 paź 2007, o 21:57
Gdyby znalazł się ktoś chętny to prosze o wyprowadzenie wzoru:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k^{2}{n\choose k}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k^{2}{n\choose k}}\)
Dla n>1 mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^nk^2\binom nk
=\sum_{k=1}^nk^2\binom nk
=\sum_{k=1}^nk(k-1)\binom nk+\sum_{k=1}^nk\binom nk=\\
=\sum_{k=2}^nk(k-1)\binom nk+\sum_{k=1}^nk\binom nk
=\sum_{k=2}^n(k-1)n\binom {n-1}{k-1}+\sum_{k=1}^nn\binom {n-1}{k-1}=\\
=\sum_{k=2}^nn(n-1)\binom {n-2}{k-2}+\sum_{k=1}^nn\binom {n-1}{k-1}
=n(n-1)\sum_{k=2}^n\binom {n-2}{k-2}+n\sum_{k=1}^n\binom {n-1}{k-1}=\\
=n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}=(n^2+n)2^{n-2}}\)
Dla n=0 oraz n=1 licząc bezpośrednio sprawdzamy, że też \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^nk^2\binom nk=(n^2+n)2^{n-2}}\)