Matematyka.pl

Wyznaczyć sumę ciągu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1=1\\a_{n+1}=2a_n+1\end{cases}}\)
Wskazówki mile widziane.

Wypisz sobie kilka pierwszych wyrazów i zauważ, o ile rośnie kolejny względem poprzedniego.

Jak ma wogole wygladac ten wzor?? Bo jak narazie to z niego wychodzi sprzecznosc... Moze tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1=1\\a_{n+1}=2a_{n}+1\end{cases}}\)
??

POZDRO

Tak, rzeczywiscie pomyłka, +1 ma byc w indeksie, juz poprawiłem
Po wypisaniu pierwszych wyrazów widze tylko, ze wszystkie to nieparzyste(wow). A wszystkie wzory ktore nawymyslalem dzialaly co najwyzej do 5-ego wyrazu.

Jak masz znalezc sume to z miejsca widac, ze bedzie to nieskonczonosc. Kazdy nastepny wyraz jest rosnacy (i to duzo szybciej niz poprzednie), tak wiec bedzie to suma kolejnych coraz wiekszych liczb. A ona jak wiadomo bedzie dazyc do nieskonczonosci. POZDRO

Tak, ale chodzi mi o wzor na \(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+...+a_n}\) czyli jak pierwsze wyrazy ciagu to 1, 3, 7, 15, 31, to, np:
\(\displaystyle{ S_3=1+3+7=11\\S_4=26\\S_5=57\\S_n=?}\).

tmk pisze:Po wypisaniu pierwszych wyrazów widze tylko, ze wszystkie to nieparzyste(wow). A wszystkie wzory ktore nawymyslalem dzialaly co najwyzej do 5-ego wyrazu.

Mówiłam o różnicach pomiędzy kolejnymi parami wyrazów: \(\displaystyle{ a_2-a_1, \ \ a_3-a_2, \ \ a_4-a_3,}\) itd. Zmieniają się w pewien konkretny sposób Z tego wychodzi ogólny wzór na dowolny wyraz ciągu. Potem wystarczy zapisać sumę \(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+...+a_n}\), gdzie kolejne wyrazy są w postaci ze wzoru ogólnego.

No, wyszło \(\displaystyle{ S_n=2^{n+1}-n-2}\) Dzięki.