zadanie: porównaj sumy wyrazów ciągu arytm. i ciągu. geo.

[VanHezz]

Dane są dwa ciągi: arytmetyczny i geometryczny. Każdy z nich składa się z trzech wyrazów dodatnich. Pierwsze i ostatnie wyrazy tych ciągów są równe. Suma wyrazów którego ciągu jest większa?

Rozwiązuję to zadanie w ten sposób:

Mamy ciągi:

\(\displaystyle{ (a_{1} , a_{2} , a_{3})}\) czyli z treści zadania \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{1}q, a_{1} q^{2})}\) - ciąg geometryczny
\(\displaystyle{ (b_{1}, b_{2} , b_{3}) }\) czyli z treści zadania \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{1} +r, a_{1} q^{2} )}\) - ciąg arytmetyczny

Wiemy, że \(\displaystyle{ q>0}\) i \(\displaystyle{ a_{1}>0}\), bo wszystkie wyrazy ciągów są dodatnie.

Aby porównać sumy wyrazów obu ciągów, muszę porównać tylko ich środkowe wyrazy.

Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego to

\(\displaystyle{ b_{2} = a_{1} +r = \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2} }\)

Badam znak różnicy

\(\displaystyle{ a_{2} - b_{2} = a_{1}q - \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2} = \frac{-a_{1}(q-1) ^{2} }{2} \le 0}\)

Zatem \(\displaystyle{ a_{2} \le b_{2}}\), więc suma wyrazów ciągu arytmetycznego jest większa od sumy wyrazów ciagu geometrycznego, przy czym \(\displaystyle{ a_{2}=b_{2}}\), gdy \(\displaystyle{ q=1}\) i wówczas oba ciągi są stałe.

Natomiast chciałbym spytać, czy poprawnie rozwiązałbym zadanie, gdybym, mając środkowe wyrazy \(\displaystyle{ a_{1}q}\) i \(\displaystyle{ \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\), postawił hipotezę, np. \(\displaystyle{ a_{1}q < \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\) i udowodnił prawdziwość lub nieprawdziwość tej nierówności? Wówczas gdybym doszedł do prawdy, to znaczyłoby, że suma wyrazów pierwszego ciągu jest mniejsza. Potem ewentualnie zbadałbym równość środkowych wyrazów i sprawdził czy i kiedy te wyrazy są równe.
Czyli generalnie zastanawiam się, czy takie postawienie hipotezy w matematyce i udowodnienie prawdziwości lub nieprawdziwości danego wyrażenia jest poprawne.

[Dasio11]

czy poprawnie rozwiązałbym zadanie, gdybym, mając środkowe wyrazy \(\displaystyle{ a_{1}q}\) i \(\displaystyle{ \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\), postawił hipotezę, np. \(\displaystyle{ a_{1}q < \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\) i udowodnił prawdziwość lub nieprawdziwość tej nierówności?

Przecież dokładnie tak zrobiłeś w pierwszym rozwiązaniu (pomijając postawienie hipotezy, co jest zabiegiem kosmetycznym), do którego, jak rozumiem, nie masz wątpliwości?

[VanHezz]

Niby tak, ale wydało mi się, że jest różnica, między sytuacją, gdy wychodzę od różnicy \(\displaystyle{ a_{2} - b_{2}}\) i dopiero potem po przekształceniach stwierdzam, czy jest ona mniejsza czy większa od zera, a sytuacją gdy od razu piszę, że \(\displaystyle{ a_{2} - b_{2}<0}\), jak zrobiłem w drugim rozwiązaniu, a dopiero potem to udowadniam.

Czyli rozumiem, że gdybym postawił hipotezę \(\displaystyle{ a_{2} - b_{2}>0}\) i dowiódł, że ta nierówność jest nieprawdziwa, i stwierdził tym samym, że nierówność przeciwna musi być prawdziwa, to byłoby to poprawnie rozwiązane zadanie? Może i to kosmetyczne rzeczy, ale wolę się upewnić.

[a4karo]

Nie do końca. Zauważ, że zarówno `a_2` jak i `b_2` są funkcjami zmiennych `a_1`i `q`. Może się okazać, że dla pewnych wartości zmiennych zajdzie jedna nierówność że a dla innych przeciwna.

[VanHezz]

Tak, ale gdybym wykazał, że przykładowa nierówność jest prawdziwa lub nieprawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, czyli w tym przypadku dla dowolnego \(\displaystyle{ a_{1}>0}\) i dowolnego \(\displaystyle{ q>0}\)?

Bo stawiając hipotezę

\(\displaystyle{ a_{2}-b_{2}>0}\)

dochodzę do nierówności

\(\displaystyle{ a_{1} (q-1)^{2} <0}\), która jest nieprawidziwa dla dowolnego \(\displaystyle{ a_{1}}\) z dziedziny i dowolnego \(\displaystyle{ q}\) z dziedziny (oprócz \(\displaystyle{ q=1}\), dla którego ciągi są stałe, ale ten przypadek rozważyłbym osobno).

Więc skoro dla wszystkich wartości \(\displaystyle{ a_{1}}\) i \(\displaystyle{ q}\) ta nierówność jest nieprawidzwa, to nierówność przeciwna musiałaby być prawdziwa dla tych samych wartości \(\displaystyle{ a_{1} }\) i \(\displaystyle{ q}\), czy tak?

[a4karo]

W tym przypadku tak jest. Udowodniłeś to wprost. Jak masz dowód wprost, to przerobienie go na dowód nie wprost jest banalne.

Problem w tym, że aby obalić błędną tezę, wystarczy podać kontrprzykład. A to nie jest dowodem twierdzenia przeciwnego.