Wspólne wyrazy

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Wspólne wyrazy

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wskazać jakie warunki mają spełniać ciągi arytmetyczne \(\displaystyle{ an+b}\) i \(\displaystyle{ cn+d}\) aby istniał ciąg arytmetyczny zbudowany ze wszystkich wspólnych wyrazów obu tych ciągów.
Ukryta treść:    
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Wspólne wyrazy

Post autor: Bran »

Może sprawę uprości fakt, że:
Wystarczy, aby istniał przynajmniej jeden taki wyraz, który należy do obydwu tych ciągów.

Dowód: Weźmy dwa dowolnie ustalone ciągi arytmetyczne \(\displaystyle{ (a_n), (c_n)}\)
\(\displaystyle{ a_n = an + b\\
c_n = cn + d}\)

Więc \(\displaystyle{ a, c}\) są różnicami odpowiednio \(\displaystyle{ (a_n), (c_n).}\) Ponadto załóżmy, że jakaś liczba jest wartością obydwu tych ciągów, czyli istnieją takie \(\displaystyle{ m,r \in \NN,}\) że \(\displaystyle{ a_m = c_r.}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ a_m + ac}\) jest elementem ciągu (a_n), a \(\displaystyle{ c_r + ca}\) jest elementem ciągu \(\displaystyle{ (c_n).}\) Ponieważ \(\displaystyle{ a_m + ac = c_r + ca,}\) to mamy drugi element. Możemy ich stworzyć przeliczalnie wiele dodając kolejne wielokrotności \(\displaystyle{ ac.}\)

Wyrazy te należą jednocześnie do obydwu ciągów i tworzą inny nieskończony ciąg. Ponadto jest to ciąg o wyrazie początkowym \(\displaystyle{ a_m}\) i stałej różnicy \(\displaystyle{ ac}\), co czyni go ciągiem arytmetycznym.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Wspólne wyrazy

Post autor: Dasio11 »

W tym rozumowaniu są przynajmniej dwa błędy:

1. Liczba \(\displaystyle{ a_m + ac}\) nie musi być elementem \(\displaystyle{ a_n}\), bo \(\displaystyle{ c}\) może być ujemne;

2. Brakuje sprawdzenia, że skonstruowany ciąg składa się ze wszystkich elementów wspólnych obu ciągów (i zresztą wcale nie musi tak być).
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Wspólne wyrazy

Post autor: Bran »

Dasio11 pisze: 13 sie 2021, o 17:37
2. Brakuje sprawdzenia, że skonstruowany ciąg składa się ze wszystkich elementów wspólnych obu ciągów (i zresztą wcale nie musi tak być).
Ten brak wynika z punktu 1.?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Wspólne wyrazy

Post autor: Dasio11 »

Nie, problemem jest że nowy ciąg może zawierać tylko niektóre wyrazy wspólne obu ciągów. Na przykład dla ciągów \(\displaystyle{ a_n = 4n, c_n = 6n}\) Twoja konstrukcja zawsze da ciąg o postępie \(\displaystyle{ 24}\), podczas gdy jedynym prawidłowym ciągiem jest \(\displaystyle{ 12n}\). Inny przykład: dla \(\displaystyle{ a_n = n, b_n = n+5}\) skonstruowanym przez Ciebie ciągiem może być \(\displaystyle{ n+20}\).
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Wspólne wyrazy

Post autor: Bran »

Dasio11 pisze: 14 sie 2021, o 08:57 Nie, problemem jest że nowy ciąg może zawierać tylko niektóre wyrazy wspólne obu ciągów. Na przykład dla ciągów \(\displaystyle{ a_n = 4n, c_n = 6n}\) Twoja konstrukcja zawsze da ciąg o postępie \(\displaystyle{ 24}\), podczas gdy jedynym prawidłowym ciągiem jest \(\displaystyle{ 12n}\).
Dlaczego jedynym poprawnym? Zrozumiałem, że ciąg ma mieć wyrazy, które zawierają się w obu ciągach. Mój nie wskazuje wszystkich takich wyrazów, ale to chyba nie jest konieczne dla zadania?
Dasio11 pisze: 14 sie 2021, o 08:57 Inny przykład: dla \(\displaystyle{ a_n = n, b_n = n+5}\) skonstruowanym przez Ciebie ciągiem może być \(\displaystyle{ n+20}\).
Jak wyżej. Prawda, tylko nie wiem dlaczego to psuje rozwiązanie?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Wspólne wyrazy

Post autor: Dasio11 »

Treść zadania pisze:Wskazać jakie warunki mają spełniać ciągi arytmetyczne \(\displaystyle{ an+b}\) i \(\displaystyle{ cn+d}\) aby istniał ciąg arytmetyczny zbudowany ze wszystkich wspólnych wyrazów obu tych ciągów.
Uważasz, że w powyższej treści nie ma wymogu, aby konstruowany ciąg zawierał wszystkie wspólne wyrazy rozważanych ciągów? :]

Zresztą gdyby faktycznie chodziło o ciąg zawierający jedynie niektóre wyrazy wspólne, to dowód Twojego faktu ograniczałby się do stwierdzenia: "rozważmy ciąg stały".
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Wspólne wyrazy

Post autor: Bran »

Gdzieś się zagubiłem w meandrach moich rozmyślań. Dziękuję za wypunktowanie.
ODPOWIEDZ